Exercice 1 — Probabilités et variables aléatoires

• Arbre de probabilités à trois issues puis deux branches : probabilités totales, calcul de \(P(E\cap H)\), de \(P(H)=0{,}4125\), puis inversion conditionnelle avec \(P(E\mid H)\).
• Loi binomiale : \(X\sim\mathcal B(8;0{,}4125)\), probabilité qu’aucun abonné n’ait activé l’option, puis seuil avec \(q_n=1-0{,}5875^n\).
• Variable aléatoire de tarif mensuel : loi de probabilité de \(Y\), espérance \(E(Y)=10{,}475\), variance, puis inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 2 — Suites et équation différentielle

• Suite homographique : \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=4-\dfrac{4}{u_n}\). Étude de la fonction associée, encadrement, monotonie et convergence vers 2.
• Algorithmique : fonction Python de seuil renvoyant le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n<s\).
• Modèle continu : résolution de l’équation différentielle \(y'+y=2\), d’où \(p(t)=2e^{-t}+2\).

Exercice 3 — Géométrie dans l’espace

• Coordonnées des points, produit scalaire \(\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{SB}\) et mesure de l’angle \(\widehat{BSC}\).
• Plan \((SBC)\) : vecteur normal, équation cartésienne \(2y+z-2=0\), projeté orthogonal de \(O\) et distance \(d(O,(SBC))=\dfrac{2\sqrt5}{5}\).
• Méthode par les volumes : volume d’une pyramide, aire du triangle \(SBC\), puis nouvelle obtention de la distance point-plan.

Exercice 4 — Fonctions

• Étude de \(f(x)=5\ln(x^2+1)-3x\) : limites, dérivée \(f'(x)=\dfrac{-3x^2+10x-3}{x^2+1}\), variations et convexité.
• Tangente au point d’abscisse 1 et majoration \(\ln(x^2+1)\leq x+\ln(2)-1\) pour \(x\geq 1\).