• Arbre 3x2 : formule proba. totales ... classique
• Loi binomiale classique : inéquation avec ln
• Espérance de \(F_{n}=\frac{X_{n}}{n}\) avec \(X_n\) suit loi binomiale
• Bienaymé-Tchebychev : Vérifier que \(P(|F_n - 0{,}145| \geq 0{,}1) \leq \dfrac{12{,}5}{n}\)
• Suite originale : \(u_{n+1}=\frac{2 u_{n}+1}{u_{n}+2}\)
• Récurrence délicate : on n'a pas la relation directement, on utilise le fait que \( 9n - 4 \geq 3n + 2 \iff n\geq 1\)
• Limite avec factorisation par \(a_n\), il faut préciser qu'il est non nul
• Algorithme : algo de seuil classique et sans intérêt (niveau début de première, 3 années de Python pour ça !?)
• Intersection de 2 droites
• Produit scalaire pour déterminer un angle : $$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta) \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|}$$
• Distance point/Plan
• Graphique : associer les courbes de \(g\) et de \(g'\) , équation de tangente
• Equations Différentielles : \(y'=ay\) et \(y'=ay+f\)
• Original Q B4) : Déterminer les solutions de \((E)\) dont la courbe représentative admet deux points d'inflexion.
• Partie C : limite avec croissances comparées et factorisation, variations avec \(f'=P\times \e^{u}\)
• Intégration : on donne la primitive ...

• V.a. \(N\) qui suit la binomiale puis étude de v.a. \(T=3N\)
• Espérance d'une v.a. moyenne : \(M_{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{n}\)
• Bienaymé-Tchebychev : montrer que \(P\left(\left|M_{50}-22\right| \geq 3\right) \leq \frac{13}{90}\) puis que "Il n'existe aucun entier naturel \(n\) tel que \(P\left(\left|M_{n}-22\right| \geq 3\right)<0{,}01\)"
• Partie A : Suite \(\quad u_{n+1} = \sqrt{u_n}\) Résolution équation \(\sqrt{x}=x\) Théorème du point fixe
• Résolution équation \(\sqrt{x}=x\)
• Théorème du point fixe
• Partie B : suite \( v_n = \ln(u_n) \) On montre que \(v_n\) géométrique Algorithme de Briggs avec l'approx classique \(\ln x \approx x-1\) pour \(x\) proche de 1
• On montre que \(v_n\) géométrique
• Algorithme de Briggs avec l'approx classique \(\ln x \approx x-1\) pour \(x\) proche de 1
• Une relation vectorielle à prouver (utilisation de relations de vecteur dans le cube)
• Original : Affirmation « Le triplet \(( \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AH}}, \overrightarrow{\mathrm{AG}})\) est une base de l'espace. »
• Distance point/Plan
• Partie A : fonction trigo, inéquation, convéxité
• Partie B : Intégration : IPP de 2 façons différentes pour calculer I et J Aire par différence
• Intégration : IPP de 2 façons différentes pour calculer I et J
• Aire par différence

• Limite avec croissances comparées, convexité
• Intégration : calcul d'aire, intégration avec une IPP
• Projection orthogonal point sur plan
• Equation plan avec paramètre
• Très classique avec une binomiale
• Suite double : \( u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_{n}\)
• Conjecture après calcul de termes
• Suite auxiliaire \(w_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{2} u_{n}\), on montre qu'elle est géométrique
• Récurrence un peu originale ... \(u_{n}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\)
• Etude des variations de \(u_n\) par étude signe \(u_{n+1}-u_n\)

• Produit scalaire pour déterminer un angle : $$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta) \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|}$$
• Projeté orthogonal du point A sur la droite (d)
• Intersection sphère/Droite
• Espérance et variance d'une v.a. \(S_n\) qui suit une binomiale puis de \(F_n=S_n/n\)
• Bienaymé-Tchebychev : On cherche n tel que \(P(0{,}93 < F_n < 0{,}97) \geq 0{,}96 \)
• Partie A : suite arithmético-géo classique
• Partie B : calcul d'une moyenne de termes de la suite \(u_n\) : \(S_{n}=\frac{u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}}{n}\)
• Limites
• Algo : fonction de seuil mystère !?
• Une sorte de justification de terminaison (de boucle) par utilisation de la définition de la limite
• Limite croissances comparées, TVI ... classique
• Intégration : question 4a) aire à calculer mais une primitive de \(f\) a été donné lors de la question 1a) \(g'=f\)
• Convexité : Q 5a) : résolution inéquation avec changement de variable \(x-3\sqrt{x}+3>0\)

• Loi binomiale sur un échantillon : On cherche le plus petit \(n\) tel que \(P(X \geqslant 1) > 0,99\) Résolution inéquation avec ln
• Espérance et variance d'une somme de 3 v.a. suivant une binomiale
• Bienaymé-Tchebychev pour calculer \(P(6 < S < 14)\)
• Produit scalaire pour calculer un angle : $$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta) \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|}$$
• Algo qui renvoie un encadrement de la solution d'une équation par méthode de balayage
• Récurrence classique (on compose par f croissante ...)
• Théorème du point fixe,
• Partie B plus originale avec implication et réciproque
• Résolution inéquation avec ln

• Arbre de probabilité avec un paramètre \(p\)
• Th. proba. totales
• Loi binomiale sur un échantillon : On cherche le plus petit \(n\) tel que \(P(X \geqslant 1) > 0,99\) Résolution inéquation avec ln
• Partie A : suite arithmético-géo classique
• Partie B : Suite (w) en fonction de (u) : \(w_{n+1}=\dfrac{1}{2} w_{n}+\dfrac{1}{2} u_{n}+7\)
• Algo pour calculer \(wn\) avec une erreur, il faut soit utiliser une variable tampon soit l'affectation simultanée propre à Python, soit échanger des lignes
• récurrence et théorème d'encadrement
• Angle avec la formule du produit scalaire \(\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{CD} = \| \overrightarrow{CH} \| \times \| \overrightarrow{CD} \| \times \cos \left( \, \widehat{DCH}\,\right)\)
• Fonction à paramètre
• TVI
• Intégrale avec une intégration par partie (IPP)

• Théorème du point fixe,
• Question partie C3°) utilisant la définition de la limite
• Fonction à paramètre, limite permettant de trouver le paramètre,
• Intégrale : primitive à calculer,
• Lectures graphique, coefficient directeur d'une droite
• Dénombrement (6 questions !),
• Espérance et variance d'une somme de 4 v.a. suivant une binomiale
• Une question délicate 3°) pour trouver un vecteur directeur d'une droite intersection de 2 plans

• Arbre 4x2
• Var. aléatoire (Binomiale, moyenne),
• Bienaymé-Tchebychev
• Equation avec changement de variable
• Calcul d'aire
• Suite \(u_{n+1}=-0,02u_n^2+1,3u_u\)
• Algo de seuil

• Probabilités (arbre 2x2), var. aléatoire (Binomiale, somme), Bienaymé-Tchebychev
• Fonctions (lectures graphique),
• equations différentielles,
• Intégration par IPP

• Probabilités (arbre 2x2), var. aléatoire (Binomiale, moyenne), Bienaymé-Tchebychev
• Fonction à paramètre
• Suite de fonctions,
• Intégration par IPP (donne récurrence entre les In),
• algo mystère (liste termes)
• Equations différentielles, dénombrement, produit scalaire et angle, convexité

• Probabilités (arbre 2x2),
• Suite arithmético-géométrique,
• algorithme et simulation

• Probabilités (arbre 2x2 non donné),
• var. aléatoire (Binomiale, moyenne), Bienaymé-Tchebychev
• Partie 1 : Equation différentielle (modélisation)
• Partie 2 : étude d'une fonction, convexité, limite
• Suite \(u_{n+1}=2+\ln\left( u_n^2-3\right) \)
• Algorithmique : 2 algo, un avec la liste des terme et une fonction mystère
• Etude des variations
• Intégration
• Dénombrement
• Espace

• Vrai/Faux sur la fonction \(f(x)=xe^{-2x}\)
• Dérivation d'un produit avec exponentielle
• Équation différentielle \(y'+2y=e^{-2x}\)
• Convexité avec étude de \(f''\)
• Équation \(f(x)=-1\) et étude du nombre de solutions
• Calcul d'aire par intégration sur \([0;1]\)
• Géométrie dans l'espace : coordonnées dans un cube
• Représentations paramétriques de droites
• Intersection de deux droites
• Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan
• Intersection droite-plan
• Distance dans l'espace et équidistance
• Triangle rectangle dans l'espace
• Droite d'Euler dans le triangle \(ABG\)
• Loi binomiale : \(X \sim \mathcal{B}(10;0{,}25)\)
• Probabilité exacte et approximation
• Espérance d'une variable aléatoire
• Variable aléatoire affine : \(Y=1{,}5X-5\)
• Arbres de probabilités et probabilités conditionnelles
• Suite de probabilités : \(p_{n+1}=-0{,}4p_n+0{,}7\)
• Suite auxiliaire géométrique : \(u_n=p_n-0{,}5\)
• Expression explicite et limite d'une suite
• Généralisation avec un paramètre \(x\) et démonstration par récurrence

• Partie 1 : équation différentielle
• Partie 2 : étude de fonction
• Sans surprise
• Suite \(u_{n+1}=f\left( u_n\right) \)
• Algorithme
• Justification que l'algo de seuil renvoie une valeur par la notion de limite de la suite.
• Partie C : À l’aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier 𝑁 tel que pour tout 𝑛 ≥ 𝑁, les termes 𝑣n et 𝑢n appartiennent à l’intervalle ]1,99 ; 2,01[.
• Probabilités
• Dénombrement

• Partie 1 : Loi Binomiale
• Partie 2 : probabilités avec suite
• Dénombrement
• Equa diff
• Fonction trigo
• Etude de fonction,
• aire max
• Algo
• Classique

📄 Exercice 1 (4 pts) : Probabilités at algo 📄 Exercice 2 (5 pts) : Vrai/Faux 📄 Exercice 3 (6 pts) : Etude de fonction et equa diff et intégration 📄 Exercice 4 (4 pts) : Espace

📄 Exercice 1 (6 pts) : Probabilités et va 📄 Exercice 2 (4 pts) : Espace 📄 Exercice 3 (4 pts) : Suites, tableur, algo 📄 Exercice 4 (6 pts) : Dénombrement, équa diff., étude fonction

📄 Exercice 1 (5 pts) : Probabilités et va 📄 Exercice 2 (4 pts) : Espace 📄 Exercice 3 (6 pts) : Suites de fonction, intégration, algo 📄 Exercice 4 (5 pts) : vrai/Fauc : fonction, dénombrement

• Géométrie dans l'espace : cube, triangle rectangle, droites sécantes, vecteur normal à un plan.
• Dénombrement : nombre de segments reliant deux sommets distincts d'un cube.
• Intégration et aires : décomposition du carré en trois zones, calculs d'aires entre droites et parabole.
• Probabilités conditionnelles : arbre pondéré, probabilité de gain, probabilité conditionnelle après information.
• Variables aléatoires : loi de gain sur les zones, espérance et variance.
• Somme de variables aléatoires indépendantes : \(Y=X_1+X_2+X_3\), calcul de \(P(Y=9)\), \(E(Y)\) et \(V(Y)\).
• Formule de König-Huygens : calcul de variance par \(V(X)=E(X^2)-E(X)^2\).
• Suite définie par récurrence : \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f(x)=\ln(e^{x/2}+2)\).
• Récurrence d'encadrement : \(2\ln(2) \leq u_{n+1} \leq u_n\).
• Théorème de convergence monotone : suite décroissante et minorée, donc convergente.
• Équation avec changement de variable : poser \(X=e^{x/2}\) pour ramener l'équation à \(X^2-X-2=0\).
• Point fixe : résolution de \(f(x)=x\) et détermination de la limite de la suite.
• Étude de fonction logarithmique : limites, asymptotes, dérivée, variations et signe.
• TVI et unicité : existence et unicité d'une solution \(\alpha\), puis encadrement numérique d'amplitude 0,01.
• Optimisation : distance minimale entre l'origine et la courbe de \(g(x)=\ln(x)\).