Exercice 1 — Probabilités et dénombrement

• Stock de planches de surf : planches en mousse et planches en résine.
• Évènements \(M\), \(B\), \(R\) et \(C\) : mousse, bon état, recyclage et consolidation.
• Arbre pondéré à compléter avec les données de l’énoncé.
• Interprétation de \(P(\overline M\cap R)=0,05\).
• Calcul d’une probabilité conditionnelle concernant une planche en résine consolidée.
• Vérification de l’affirmation : au moins \(\dfrac34\) des planches sont en bon état.
• Jeu avec une urne contenant 5 boules noires et \(n\) boules rouges.
• Tirage simultané de deux boules, calcul d’une probabilité avec combinaisons.
• Transformation de l’expression de \(p\) et recherche des entiers \(n\) tels que \(p<\dfrac12\).

Exercice 2 — Vrai-faux : analyse, équation différentielle et Python

• Limite en \(+\infty\) de \(f(x)=(x+1)e^{-x}\).
• Convexité de la fonction \(g(x)=xe^x\) sur un intervalle.
• Calcul de \(\displaystyle \int_0^\pi x\sin(x)\,dx\) par intégration par parties.
• Équation différentielle \(y'=2y-5\) et vérification d’une solution avec condition initiale.
• Fonction Python mystere utilisant une boucle for et renvoyant \(5!\) pour mystere(5).

Exercice 3 — Suite récurrente et limite

• Fonction \(f(x)=\ln(3x^2+1)\) sur \([0;+\infty[\).
• Suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\ln(3u_n^2+1)\).
• Calcul de \(u_1\) et conjectures graphiques sur la monotonie et la convergence.
• Preuve par récurrence de l’encadrement \(2\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4\).
• Convergence de la suite par monotonie et majoration.
• Fonction auxiliaire \(g(x)=\ln(3x^2+1)-x\).
• Calcul de \(g'(x)\), variations de \(g\) sur \([2;4]\), existence et unicité de \(\alpha\) tel que \(g(\alpha)=0\).
• Justification que la limite \(\ell\) de la suite est égale à \(\alpha\).

Exercice 4 — Géométrie dans l’espace

• Points \(A(1;2;-1)\), \(B(0;3;2)\), \(C(-2;4;0)\) et \(D(8;2;-11)\).
• Démonstration que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
• Vecteur normal au plan \((ABC)\) et équation cartésienne \(5x+8y-z-22=0\).
• Vérification que \(D\) n’appartient pas au plan \((ABC)\).
• Droite \(\Delta\), orthogonale au plan \((ABC)\) et passant par \(D\), donnée par une représentation paramétrique.
• Recherche du point \(E\), intersection de \(\Delta\) et du plan \((ABC)\).
• Calcul exact de la distance \(DE\), distance du point \(D\) au plan \((ABC)\).
• Utilisation d’un logiciel de calcul formel pour montrer que \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \((BC)\).
• Calcul du volume du tétraèdre \(ABCD\) à partir de l’aire d’une base et de la hauteur correspondante.

À venir.