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Jour 1
Date : 16 juin 2026
Code : 26MATJ1PO1
◊ Sujet PDF
♥ Corrigé Math93
APMEP : Sujet PDF / Sujet LaTeX
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Thèmes du sujet : Probabilités Dénombrement Fonctions Éq. diff. Python Suites Espace Intégrales
- Exercice 1 : probabilités et dénombrement. (5 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, probabilités totales, interprétation d’une probabilité, combinaisons, tirage simultané de deux boules, inéquation et recherche de valeurs entières.
Probabilités Arbre pondéré Probabilités conditionnelles Probabilités totales Dénombrement Combinaisons
- Exercice 2 : vrai-faux, analyse, équation différentielle et Python. (5 points)
Notions : limite avec exponentielle, convexité, intégration par parties, équation différentielle \(y'=2y-5\), solution vérifiant une condition initiale et fonction Python calculant une factorielle.
Fonctions Limites Convexité Intégrales IPP Éq. diff. Python
- Exercice 3 : suite récurrente et recherche de limite. (5 points)
Notions : fonction logarithme, suite définie par récurrence, calcul de premier terme, conjecture graphique, preuve par récurrence, convergence, fonction auxiliaire, dérivée, variations, théorème des valeurs intermédiaires et valeur approchée d’une limite.
Suites Suite récurrente Récurrence Convergence Limite Fonctions ln Variations
- Exercice 4 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : points de l’espace, plan, vecteur normal, équation cartésienne de plan, droite orthogonale à un plan, représentation paramétrique, intersection droite-plan, distance point-plan, projeté orthogonal sur une droite, aire et volume d’un tétraèdre.
Espace Vecteur normal Équation de plan Droite paramétrique Distance point-plan Projeté orthogonal Volume
Notions détaillées du Jour 1
Exercice 1 — Probabilités et dénombrement
- Stock de planches de surf : planches en mousse et planches en résine.
- Évènements \(M\), \(B\), \(R\) et \(C\) : mousse, bon état, recyclage et consolidation.
- Arbre pondéré à compléter avec les données de l’énoncé.
- Interprétation de \(P(\overline M\cap R)=0,05\).
- Calcul d’une probabilité conditionnelle concernant une planche en résine consolidée.
- Vérification de l’affirmation : au moins \(\dfrac34\) des planches sont en bon état.
- Jeu avec une urne contenant 5 boules noires et \(n\) boules rouges.
- Tirage simultané de deux boules, calcul d’une probabilité avec combinaisons.
- Transformation de l’expression de \(p\) et recherche des entiers \(n\) tels que \(p<\dfrac12\).
Exercice 2 — Vrai-faux : analyse, équation différentielle et Python
- Limite en \(+\infty\) de \(f(x)=(x+1)e^{-x}\).
- Convexité de la fonction \(g(x)=xe^x\) sur un intervalle.
- Calcul de \(\displaystyle \int_0^\pi x\sin(x)\,dx\) par intégration par parties.
- Équation différentielle \(y'=2y-5\) et vérification d’une solution avec condition initiale.
- Fonction Python
mystere utilisant une boucle for et renvoyant \(5!\) pour mystere(5).
Exercice 3 — Suite récurrente et limite
- Fonction \(f(x)=\ln(3x^2+1)\) sur \([0;+\infty[\).
- Suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\ln(3u_n^2+1)\).
- Calcul de \(u_1\) et conjectures graphiques sur la monotonie et la convergence.
- Preuve par récurrence de l’encadrement \(2\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4\).
- Convergence de la suite par monotonie et majoration.
- Fonction auxiliaire \(g(x)=\ln(3x^2+1)-x\).
- Calcul de \(g'(x)\), variations de \(g\) sur \([2;4]\), existence et unicité de \(\alpha\) tel que \(g(\alpha)=0\).
- Justification que la limite \(\ell\) de la suite est égale à \(\alpha\).
Exercice 4 — Géométrie dans l’espace
- Points \(A(1;2;-1)\), \(B(0;3;2)\), \(C(-2;4;0)\) et \(D(8;2;-11)\).
- Démonstration que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
- Vecteur normal au plan \((ABC)\) et équation cartésienne \(5x+8y-z-22=0\).
- Vérification que \(D\) n’appartient pas au plan \((ABC)\).
- Droite \(\Delta\), orthogonale au plan \((ABC)\) et passant par \(D\), donnée par une représentation paramétrique.
- Recherche du point \(E\), intersection de \(\Delta\) et du plan \((ABC)\).
- Calcul exact de la distance \(DE\), distance du point \(D\) au plan \((ABC)\).
- Utilisation d’un logiciel de calcul formel pour montrer que \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \((BC)\).
- Calcul du volume du tétraèdre \(ABCD\) à partir de l’aire d’une base et de la hauteur correspondante.
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Jour 2
Date : 17 juin 2026
Code : 26-MATJ2PO1
◊ Sujet PDF
♥ Corrigé Math93
APMEP : Sujet / LateX
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Thèmes du sujet : Probabilités Variables aléatoires Suites Python Fonctions Espace Éq. diff. Intégrales Dénombrement
- Exercice 1 : probabilités, loi binomiale et concentration. (5 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale, espérance, inéquation, somme de variables aléatoires indépendantes, variance et argument de concentration.
- Exercice 2 : fonction logarithme, suite récurrente et Python. (5 points)
Notions : fonction \(f(x)=\ln(8x^3-1)\), dérivation, variations, encadrement, équation \(f(x)=x\), solution unique, suite définie par récurrence, récurrence, convergence, limite et programme Python de seuil.
- Exercice 3 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : points de l’espace, non-alignement, vecteur normal, équation cartésienne de plan, plans perpendiculaires, droite paramétrique, intersection droite-plan, projeté orthogonal sur une droite, distance point-droite et aire d’un triangle.
- Exercice 4 : vrai-faux d’analyse, dénombrement, équation différentielle, suite et aire. (5 points)
Notions : concavité, dérivée seconde, dénombrement avec répartition en groupes, équation différentielle \(y'=-y+1\), suite \(\dfrac{\sin(n)}{n}\), limite, parabole, droite et aire d’un domaine par intégrale.
Notions détaillées du Jour 2
Exercice 1 — Probabilités, loi binomiale et concentration
- Étude de la part des filles et des garçons s’orientant vers des études scientifiques après la spécialité mathématiques en terminale.
- Dans une académie : \(40\%\) de filles et \(60\%\) de garçons.
- Parmi les filles, \(33,75\%\) envisagent des études d’ingénieur ; parmi les garçons, \(54,25\%\) envisagent des études d’ingénieur.
- Évènements \(F\) : « l’élève est une fille » et \(I\) : « l’élève envisage des études d’ingénieur ».
- Représentation par un arbre pondéré.
- Calcul de la probabilité qu’un élève soit une fille envisageant des études d’ingénieur.
- Démonstration de \(P(I)=0,4605\).
- Calcul de \(P_I(F)\), probabilité qu’il s’agisse d’une fille sachant que l’élève envisage des études d’ingénieur.
- Modélisation par une loi binomiale du nombre de filles souhaitant devenir ingénieure dans un échantillon de \(n\) lycéennes.
- Espérance de la variable aléatoire \(X\), résolution d’une inéquation pour obtenir une probabilité supérieure ou égale à \(0,99\).
- Cas \(n=29\) : probabilité qu’au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure.
- Somme \(S=X_1+X_2+\cdots+X_{10}\) de variables aléatoires indépendantes associées à dix académies.
- Calcul de l’espérance et de la variance de \(S\).
- Discussion d’une affirmation sur la probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre \(2000\) et \(2500\).
Exercice 2 — Fonction logarithme, suite récurrente et Python
- Fonction \(f\) définie sur \([4;10]\) par \(f(x)=\ln(8x^3-1)\).
- Démonstration de la formule : \[ f'(x)=\dfrac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}. \]
- Étude de la croissance de \(f\) sur \([4;10]\).
- Encadrement \(4\leq f(x)\leq 10\) pour tout \(x\in[4;10]\).
- Fonction \(g(x)=f(x)-x\), admise strictement décroissante.
- Existence et unicité d’une solution \(\alpha\) de l’équation \(g(x)=0\), c’est-à-dire \(f(x)=x\).
- Encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près.
- Suite définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).
- Calcul de \(u_1\) à \(10^{-1}\) près.
- Preuve par récurrence de l’encadrement \(4\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 10\).
- Convergence de la suite \((u_n)\).
- Démonstration que la suite \((u_n)\) converge vers le nombre \(\alpha\).
- Programme Python utilisant la fonction
log et une boucle while pour déterminer un rang de dépassement.
- Interprétation de
alpha(8.499) qui renvoie \(11\).
- Explication du fait que
alpha(8.6) ne renvoie aucune valeur.
Exercice 3 — Géométrie dans l’espace
- Repère orthonormal \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\).
- Points \(A(-1;1;1)\), \(B(1;-6;-1)\) et \(C(-5;2;3)\).
- Démonstration que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
- Démonstration que le vecteur \(\vec n\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix}\) est normal au plan \((ABC)\).
- Équation cartésienne du plan \((ABC)\) : \[ 6x-2y+13z-5=0. \]
- Plan \((P)\) d’équation cartésienne : \[ 8x-2y-4z+18=0. \]
- Démonstration que les plans \((ABC)\) et \((P)\) sont perpendiculaires à l’aide de leurs vecteurs normaux.
- Droite \((d)\) donnée par la représentation paramétrique : \[ \left\{ \begin{array}{l} x=-4+t\\ y=-11+6t\\ z=2-t \end{array} \right.\quad t\in\mathbb R. \]
- Démonstration que la droite \((d)\) coupe le plan \((ABC)\) en un unique point \(E(-3;-5;1)\).
- Point \(H(-2;1;0)\).
- Démonstration que \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((d)\).
- Distance du point \(A\) à la droite \((d)\).
- Démonstration que le triangle \(AHE\) est rectangle et que son aire est égale à \(\sqrt{19}\) unités d’aire.
Exercice 4 — Vrai-faux : analyse, dénombrement, équation différentielle, suite et aire
- Pour chaque affirmation, il faut indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier.
- Fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=xe^{x^2}\) : étude d’une affirmation de concavité sur \(]-\infty;0]\).
- Dénombrement : répartition de \(24\) rapaces numérotés en trois groupes numérotés de \(1\) à \(3\), chacun constitué de \(8\) rapaces.
- Affirmation portant sur le nombre de répartitions : \[ \dfrac{24!}{(8!)^3}. \]
- Équation différentielle \(y'=-y+1\) sur \(\mathbb R\).
- Fonction \(g(x)=f(x)-1\) et vérification de l’affirmation \(g'=-g\).
- Suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel non nul par : \[ u_n=\dfrac{\sin(n)}{n}. \]
- Affirmation sur l’existence ou non d’une limite pour cette suite.
- Parabole d’équation \(y=-x^2+4x+1\) et droite d’équation \(y=x+1\).
- Lecture du domaine grisé compris entre les deux courbes.
- Affirmation : l’aire du domaine grisé est égale à \(6,5\) unités d’aire.
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