Défis mathématiques
Cette page rassemble des défis mathématiques de plusieurs niveaux, classés par difficulté croissante. L’objectif n’est pas seulement de trouver une réponse, mais de chercher, expérimenter, conjecturer, puis expliquer clairement son raisonnement.
L’esprit des défis
Jouer avec les mathématiques
Terence Tao est l’un des mathématiciens récompensés en 2006 par la prestigieuse Médaille Fields, souvent présentée comme l’équivalent du prix Nobel pour les mathématiques.
Dans le magazine Tangente n°112 d’octobre 2006, il explique que les mathématiques sont aussi un jeu, et encourage les élèves à jouer avec les mathématiques, à se fixer de petits défis et à inventer de nouvelles questions.
La chose la plus importante pour développer l’intérêt pour les mathématiques est d’avoir la capacité et la liberté de jouer avec elles, de se fixer à soi-même de petits défis, d’inventer de nouveaux jeux.
Alors suivons ce conseil : chercher, essayer, se tromper, recommencer, expliquer.
Comment utiliser ces défis ?
Pas de niveau interdit
Le niveau indiqué ne correspond pas à une classe obligatoire. Il donne seulement une idée de la difficulté et des compétences utiles. Un élève de sixième peut très bien se lancer dans un défi plus avancé : faire des essais, chercher des exemples, observer une régularité ou proposer une idée.
Pour chaque défi, un conseil est proposé dans un volet dépliable. Il donne une direction, sans fournir directement la solution.
Niveaux et difficultés
Défis collège - seconde
Ces défis ne nécessitent pas de dérivation, d’intégrale ou de continuité. Ils reposent sur le calcul mental, la numération, la géométrie, les fractions, la divisibilité, les puissances, les premières preuves, les stratégies et le dénombrement simple.
- Défi n°1 — Critères de divisibilité par \(2\), \(5\) et \(10\) : nombre de trois chiffres Soit un nombre de trois chiffres \(N=100a+10b+c\). Montrer que la divisibilité par \(2\), \(5\) ou \(10\) dépend seulement du chiffre des unités \(c\).
Compétences utiles : numération, chiffre des unités, multiples de \(2\), \(5\), \(10\).À démontrer : \(N\) est divisible par \(10\) si \(c=0\), par \(5\) si \(c=0\) ou \(5\), par \(2\) si \(c\) est pair.
Conseil
Écris \(N=100a+10b+c\). Les termes \(100a\) et \(10b\) sont divisibles par \(10\), donc aussi par \(5\) et par \(2\). Tout se joue alors sur \(c\).
- Défi n°2 — Le dernier chiffre Trouver le dernier chiffre, c’est-à-dire le chiffre des unités, de \(7^{2025}\).
Compétences utiles : puissances, calcul numérique, observation de cycles.
Conseil
Calcule les derniers chiffres de \(7^1\), \(7^2\), \(7^3\), \(7^4\), puis observe si un cycle apparaît.
- Défi n°3 — Additionner de \(1\) à \(100\) Calculer rapidement la somme \(1+2+3+\cdots+100\), sans poser toutes les additions.
Compétences utiles : addition, organisation d’un calcul, recherche de régularités.
Conseil
Regroupe le premier et le dernier nombre : \(1+100\), puis \(2+99\), puis \(3+98\). Combien de groupes obtient-on ?
- Défi n°4 — Le nombre mystérieux Je pense à un nombre entier. Quand je le multiplie par \(3\), puis que j’ajoute \(6\), j’obtiens \(42\). Quel est ce nombre ?
Compétences utiles : calcul mental, opérations inverses, équation simple.Objectif : apprendre à remonter une chaîne de calculs.
Conseil
Il faut faire les opérations inverses dans l’ordre inverse : commencer par enlever \(6\), puis diviser par \(3\).
- Défi n°5 — Le carré magique \(3 \times 3\) Compléter un carré magique avec les nombres de \(1\) à \(9\), de sorte que chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale ait la même somme.
Compétences utiles : addition, organisation, essais, symétrie.Question : quelle doit être la somme commune de chaque ligne ?
Conseil
Commence par calculer la somme des nombres de \(1\) à \(9\). Cette somme est répartie sur trois lignes.
- Défi n°6 — Toujours \(1089\) Choisir un nombre de trois chiffres dont le premier et le dernier chiffre sont différents. Inverser ses chiffres, soustraire le plus petit au plus grand, puis inverser le résultat et additionner. Que remarque-t-on ? Peut-on l’expliquer ?
Compétences utiles : numération, écriture d’un nombre, calcul littéral simple.Surprise : le résultat final semble toujours être le même.
Conseil
Écris le nombre sous la forme \(100a+10b+c\), avec \(a>c\). Son renversé est \(100c+10b+a\). Commence par calculer leur différence.
- Défi n°7 — Le calendrier Dans un calendrier, on choisit un carré de \(3 \times 3\) dates. Montrer que la somme des neuf dates vaut toujours neuf fois la date centrale.
Compétences utiles : calcul mental, organisation, écriture littérale, régularités.Objectif : transformer une observation numérique en démonstration générale.
Conseil
Si la date centrale vaut \(n\), les dates autour s’écrivent \(n-8\), \(n-7\), \(n-6\), \(n-1\), \(n+1\), \(n+6\), \(n+7\), \(n+8\).
- Défi n°8 — Critères de divisibilité par \(2\), \(5\) et \(10\) : cas général Montrer que, pour n’importe quel entier, la divisibilité par \(2\), \(5\) ou \(10\) dépend seulement du dernier chiffre.
Compétences utiles : écriture décimale, division euclidienne par \(10\), chiffre des unités.À démontrer : tout entier peut s’écrire sous la forme \(N=10q+c\), où \(c\) est son chiffre des unités.
Conseil
Écris \(N=10q+c\). Le terme \(10q\) est divisible par \(10\), donc aussi par \(5\) et par \(2\). Il reste seulement à étudier \(c\).
- Défi n°9 — Critères de divisibilité par \(3\) et \(9\) : nombre de trois chiffres Soit un nombre de trois chiffres \(N=100a+10b+c\). Montrer que \(N\) est divisible par \(3\) si la somme \(a+b+c\) est divisible par \(3\), et divisible par \(9\) si \(a+b+c\) est divisible par \(9\).
Compétences utiles : écriture décimale, somme des chiffres, multiples de \(3\) et de \(9\), calcul littéral.À démontrer : pourquoi la somme des chiffres permet de tester la divisibilité par \(3\) ou par \(9\).
Conseil
Utilise \(100=99+1\) et \(10=9+1\). Alors \(100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)\).
- Défi n°10 — Une fraction cachée Trouver la fraction \(\dfrac{a}{b}\) dont l’écriture décimale périodique est \(0,123123123\cdots\), c’est-à-dire \(0,\overline{123}\).
Compétences utiles : fractions, écriture décimale, multiplication par \(10\), \(100\), \(1000\).
Conseil
Pose \(x=0,\overline{123}\). Comme le bloc répété contient trois chiffres, compare \(1000x\) et \(x\).
- Défi n°11 — La hauteur du triangle équilatéral Dans un triangle équilatéral de côté \(1\), montrer que la hauteur mesure \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Compétences utiles : géométrie, triangle rectangle, théorème de Pythagore, racine carrée.
Conseil
Dans un triangle équilatéral, la hauteur coupe la base en son milieu. Tu peux donc faire apparaître un triangle rectangle.
- Défi n°12 — Combien de poignées de main ? Dans une salle, \(10\) personnes se serrent toutes la main une seule fois. Combien y a-t-il de poignées de main au total ?
Compétences utiles : organisation d’un comptage, dénombrement simple, éviter les doubles comptes.
Conseil
La première personne serre \(9\) mains, la deuxième en serre \(8\) nouvelles, puis la troisième \(7\), etc.
- Défi n°13 — Diagonales d’un polygone Combien de diagonales possède un polygone à \(12\) côtés ?
Compétences utiles : géométrie, dénombrement, sommets, côtés, diagonales, double comptage.
Conseil
Depuis un sommet, on ne peut pas tracer une diagonale vers lui-même ni vers ses deux voisins. Ensuite, attention au double comptage.
- Défi n°14 — Trois entiers consécutifs Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par \(3\).
Compétences utiles : nombres entiers, multiples, calcul littéral simple.Objectif : passer des exemples à une preuve générale.
Conseil
Trois entiers consécutifs peuvent s’écrire \(n\), \(n+1\) et \(n+2\). Additionne-les.
- Défi n°15 — Deux impairs consécutifs Montrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de \(4\).
Compétences utiles : nombres pairs et impairs, multiples, calcul littéral.Exemples : \(7+9=16\), \(13+15=28\).
Conseil
Deux nombres impairs consécutifs peuvent s’écrire \(2n+1\) et \(2n+3\).
- Défi n°16 — Le carré d’un nombre impair Montrer que le carré d’un nombre impair est toujours impair.
Compétences utiles : parité, calcul littéral, développement.Objectif : préparer les raisonnements sur pairs et impairs.
Conseil
Un nombre impair peut s’écrire \(2n+1\). Développe \((2n+1)^2\).
- Défi n°17 — Différence de deux carrés consécutifs Calculer \(2^2-1^2\), \(3^2-2^2\), \(4^2-3^2\), puis conjecturer et démontrer une formule pour \((n+1)^2-n^2\).
Compétences utiles : carrés, développement, calcul littéral, identités remarquables.Question : pourquoi les résultats obtenus sont-ils toujours impairs ?
Conseil
Développe \((n+1)^2\), puis soustrais \(n^2\).
- Défi n°18 — Critères de divisibilité par \(3\) et \(9\) : cas général Montrer que, pour un nombre ayant autant de chiffres que l’on veut, la divisibilité par \(3\) ou par \(9\) dépend de la somme de ses chiffres.
Compétences utiles : puissances de \(10\), écriture décimale, divisibilité, raisonnement général.À démontrer : les puissances de \(10\) ont toutes le même reste que \(1\) dans une division par \(3\) ou par \(9\).
Conseil
Écris \(N=a_0+a_1\times10+a_2\times10^2+\cdots+a_n\times10^n\). Pour \(3\) et \(9\), chaque puissance de \(10\) se comporte comme \(1\).
- Défi n°19 — Critère de divisibilité par \(11\) : nombre de trois chiffres Soit un nombre de trois chiffres \(N=100a+10b+c\). Montrer que \(N\) est divisible par \(11\) si et seulement si \(a-b+c\) est divisible par \(11\).
Compétences utiles : multiples de \(11\), calcul littéral, somme alternée.À démontrer : le critère de divisibilité par \(11\) pour un nombre de trois chiffres.
Conseil
Utilise \(100=99+1\) et \(10=11-1\). Alors \(100a+10b+c=99a+11b+(a-b+c)\).
- Défi n°20 — L’échiquier mutilé On enlève deux coins opposés d’un échiquier \(8 \times 8\). Peut-on recouvrir les \(62\) cases restantes avec des dominos \(1 \times 2\) ?
Compétences utiles : raisonnement, coloriage, parité, contre-exemple.Surprise : le nombre de cases restantes est pair, mais cela ne suffit pas.
Conseil
Colorie l’échiquier comme un vrai échiquier. Un domino couvre toujours une case blanche et une case noire.
- Défi n°21 — Le jeu des allumettes On dispose \(21\) allumettes. Deux joueurs retirent chacun \(1\), \(2\) ou \(3\) allumettes à tour de rôle. Celui qui prend la dernière gagne. Existe-t-il une stratégie gagnante ?
Compétences utiles : raisonnement à rebours, stratégie, multiples, invariants simples.Objectif : trouver une méthode qui gagne à coup sûr.
Conseil
Demande-toi d’abord quelles positions permettent de gagner immédiatement, puis remonte le jeu à l’envers.
- Défi n°22 — Les poignées de main, version générale Dans une salle de \(n\) personnes, chacun serre la main de tous les autres une seule fois. Trouver une formule pour le nombre total de poignées de main.
Compétences utiles : dénombrement, double comptage, formule générale.Objectif : généraliser le défi des \(10\) personnes.
Conseil
Chaque personne serre la main de \(n-1\) personnes, mais chaque poignée de main est comptée deux fois.
- Défi n°23 — Les diagonales d’un polygone, version générale Trouver une formule pour le nombre de diagonales d’un polygone à \(n\) côtés.
Compétences utiles : géométrie, dénombrement, double comptage, formule littérale.Objectif : généraliser le cas du polygone à \(12\) côtés.
Conseil
Depuis un sommet, on peut joindre tous les autres sommets sauf lui-même et ses deux voisins. Ensuite, pense au double comptage.
- Défi n°24 — Le chemin le plus court Deux points \(A\) et \(B\) sont du même côté d’une droite représentant une rivière. On veut aller de \(A\) à la rivière puis à \(B\). Où faut-il toucher la rivière pour que le chemin soit le plus court ?
Compétences utiles : symétrie axiale, distance, géométrie, plus court chemin.Idée : transformer un chemin brisé en un segment droit.
Conseil
Construis le symétrique de \(B\) par rapport à la droite. Le problème devient alors un problème de plus court chemin entre deux points.
- Défi n°25 — \(\sqrt{2}\) est-il une fraction ? Montrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction \(\dfrac{a}{b}\).
Compétences utiles : fractions, parité, nombres pairs et impairs, raisonnement par l’absurde.
Conseil
Suppose que \(\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\), avec une fraction irréductible. Élève au carré, puis observe ce que cela impose sur la parité de \(a\) et de \(b\).
- Défi n°26 — \(\sqrt{3}\) est-il une fraction ? Montrer que \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
Compétences utiles : divisibilité, multiples de \(3\), raisonnement par l’absurde, fractions irréductibles.
Conseil
Adapte la méthode utilisée pour \(\sqrt{2}\), mais remplace l’étude de la parité par une étude de la divisibilité par \(3\).
- Défi n°27 — Une infinité de nombres premiers Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Compétences utiles : nombres premiers, divisibilité, raisonnement par l’absurde.
Conseil
Imagine qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers : \(p_1, p_2, \ldots, p_n\). Que peux-tu dire du nombre \(p_1p_2\cdots p_n+1\) ?
- Défi n°28 — Une formule pour \(1+2+\cdots+n\) Trouver puis démontrer une formule pour la somme \(1+2+3+\cdots+n\).
Compétences utiles : suites simples, calcul littéral, conjecture, récurrence possible.
Conseil
Écris la somme dans l’ordre croissant puis dans l’ordre décroissant, et additionne les deux lignes.
- Défi n°29 — Somme des puissances de \(2\) Montrer que \(1+2+4+\cdots+2^n=2^{n+1}-1\).
Compétences utiles : puissances, suites géométriques simples, calcul littéral, récurrence possible.
Conseil
Calcule les premières sommes : \(1\), \(1+2\), \(1+2+4\), \(1+2+4+8\), puis observe le résultat.
- Défi n°30 — Des chemins sur une grille Sur une grille, on part du coin inférieur gauche et on veut rejoindre le coin supérieur droit en se déplaçant seulement vers la droite ou vers le haut. Combien de chemins existe-t-il pour une grille de \(4\) colonnes et \(3\) lignes ?
Compétences utiles : dénombrement, organisation, combinaisons simples, représentations graphiques.
Conseil
Chaque chemin est une suite composée de \(4\) déplacements vers la droite et \(3\) déplacements vers le haut.
- Défi n°31 — Le nombre d’or dans un rectangle On cherche un rectangle tel que, si on enlève un carré, le petit rectangle restant ait la même forme que le grand. Trouver le rapport longueur/largeur.
Compétences utiles : proportions, équation du second degré, géométrie, similitude.Surprise : ce rapport fait apparaître le nombre d’or.
Conseil
Si le grand rectangle a pour dimensions \(L\) et \(l\), avec \(L>l\), alors après avoir enlevé un carré de côté \(l\), le rectangle restant a pour dimensions \(l\) et \(L-l\).
- Défi n°32 — Les triplets de Pythagore Trouver plusieurs triangles rectangles dont les trois côtés sont entiers. Peut-on expliquer pourquoi \(3,4,5\), \(5,12,13\) et \(8,15,17\) fonctionnent ?
Compétences utiles : théorème de Pythagore, carrés, nombres entiers, recherche d’exemples.Question : peut-on fabriquer d’autres exemples ?
Conseil
Vérifie d’abord les exemples proposés avec le théorème de Pythagore. Ensuite, cherche des nombres \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(a^2+b^2=c^2\).
Défis première - terminale
Ces défis utilisent davantage les outils du lycée : suites, probabilités, fonctions, dérivation, continuité, limites, logarithme ou calcul intégral. L’objectif reste le même : chercher une idée, tester des exemples, puis construire une démonstration claire.
- Défi n°33 — Critère de divisibilité par \(11\) : cas général Montrer que, pour un entier quelconque, le critère de divisibilité par \(11\) repose sur une somme alternée de ses chiffres.
Compétences utiles : puissances de \(10\), écriture décimale, alternance des signes, divisibilité.À démontrer : les puissances de \(10\) se comportent alternativement comme \(1\), puis \(-1\), puis \(1\), puis \(-1\) modulo \(11\).
Conseil
Comme \(10=11-1\), on peut retenir que \(10\) se comporte comme \(-1\). Donc \(10^2\) se comporte comme \(1\), \(10^3\) comme \(-1\), et ainsi de suite.
- Défi n°34 — Le paradoxe de Monty Hall Dans un jeu, trois portes sont proposées. Derrière une porte se trouve une voiture, derrière les deux autres une chèvre. Le joueur choisit une porte. L’animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte avec une chèvre. Faut-il garder son choix initial ou changer de porte ?
Compétences utiles : probabilités conditionnelles, arbre de probabilités, raisonnement par cas.Question : comparer la probabilité de gagner en gardant la porte choisie et en changeant de porte.
Conseil
Au départ, quelle est la probabilité d’avoir choisi la bonne porte ? Quelle est donc la probabilité que la voiture soit derrière l’une des deux autres portes ?
- Défi n°35 — Premier \(6\) en un nombre pair de lancers On lance un dé équilibré jusqu’à obtenir pour la première fois un \(6\). Soit \(X\) le nombre de lancers. Calculer la probabilité que \(X\) soit pair.
Compétences utiles : probabilités, événements indépendants, suites géométriques, somme infinie.
Conseil
Calcule d’abord \(P(X=2)\), \(P(X=4)\), \(P(X=6)\). Tu obtiens une somme de termes qui forment une suite géométrique.
- Défi n°36 — Une somme qui grandit toujours On considère les sommes partielles \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}=1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n\). Montrer que la suite \((H_n)\) n’est pas bornée.
Compétences utiles : suites, sommes, comparaison, raisonnement par regroupements.
Conseil
Regroupe les termes par paquets : \(\dfrac12\), puis \(\dfrac13+\dfrac14\), puis \(\dfrac15+\cdots+\dfrac18\), etc.
- Défi n°37 — Une aire maximale Parmi les rectangles de périmètre \(20\), déterminer celui qui a l’aire maximale.
Compétences utiles : second degré, fonctions, dérivation possible, optimisation.
Conseil
Note \(x\) une des dimensions du rectangle. Exprime l’autre dimension en fonction de \(x\), puis écris l’aire comme une fonction de \(x\).
- Défi n°38 — La fourmi sur l’élastique Une fourmi avance de \(1\) cm par seconde sur un élastique de \(1\) mètre. À chaque seconde, après que la fourmi a avancé, l’élastique est étiré d’un mètre supplémentaire, uniformément sur toute sa longueur. La fourmi atteindra-t-elle un jour l’extrémité ?
Compétences utiles : suites, proportions, série harmonique, raisonnement asymptotique.Surprise : l’élastique s’allonge sans limite, mais la réponse n’est pas forcément celle que l’on croit.
Conseil
Raisonne en proportion de la longueur totale déjà parcourue. À chaque seconde, la fourmi gagne une fraction de l’élastique : \(\dfrac{1}{100}\), puis \(\dfrac{1}{200}\), puis \(\dfrac{1}{300}\), etc.
- Défi n°39 — Le paradoxe des anniversaires Combien faut-il de personnes dans une salle pour que la probabilité que deux personnes aient le même anniversaire dépasse \(50\%\) ? On suppose les \(365\) jours de l’année également probables.
Compétences utiles : probabilités, événement contraire, produit, calcul numérique, logarithme possible.Question : pourquoi la réponse est-elle beaucoup plus petite que \(365/2\) ?
Conseil
Il est plus simple de calculer la probabilité de l’événement contraire : toutes les personnes ont des anniversaires différents.
- Défi n°40 — La boîte sans couvercle On découpe quatre carrés identiques dans les coins d’une feuille rectangulaire, puis on replie les bords pour fabriquer une boîte sans couvercle. Quelle taille de carré faut-il découper pour obtenir le plus grand volume possible ?
Compétences utiles : fonctions, volume, dérivation, optimisation, domaine de définition.Variante : choisir une feuille de dimensions \(20\) cm par \(30\) cm.
Conseil
Si \(x\) est le côté du carré découpé, les dimensions de la boîte deviennent \(20-2x\), \(30-2x\) et \(x\). Écris le volume en fonction de \(x\).
- Défi n°41 — Où se placer pour mieux voir une affiche ? Une affiche verticale est placée sur un mur, son bas étant à \(2\) mètres du sol et son haut à \(5\) mètres. À quelle distance du mur faut-il se placer pour la voir sous le plus grand angle possible ?
Compétences utiles : trigonométrie, fonctions, dérivation, optimisation, angle de vision.Idée : ce n’est pas forcément en se collant au mur que l’angle est maximal.
Conseil
Si \(x\) est la distance au mur, l’angle de vision peut s’écrire comme une différence d’angles : \(\arctan\left(\dfrac{5}{x}\right)-\arctan\left(\dfrac{2}{x}\right)\).
- Défi n°42 — Le café qui refroidit Un café est servi à \(80^\circ\)C dans une pièce à \(20^\circ\)C. Après \(5\) minutes, il est à \(60^\circ\)C. En supposant que l’écart de température avec la pièce diminue de façon exponentielle, au bout de combien de temps le café sera-t-il à \(40^\circ\)C ?
Compétences utiles : exponentielle, logarithme, modélisation, équation différentielle possible.Question cachée : pourquoi le café ne perd-il pas \(20^\circ\)C toutes les cinq minutes ?
Conseil
Travaille avec l’écart à la température ambiante. Au départ, l’écart est \(60^\circ\)C. Après \(5\) minutes, il est \(40^\circ\)C.
- Défi n°43 — Une aire sous une courbe On considère la courbe \(y=x(1-x)\) sur l’intervalle \([0;1]\). Sans dessin au départ, prévoir la forme de la courbe, puis calculer l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses.
Compétences utiles : second degré, signe, intégrale, aire sous une courbe.Question : peut-on deviner que l’aire sera inférieure à celle du rectangle \(1 \times \dfrac14\) ?
Conseil
Commence par écrire \(x(1-x)=x-x^2\). La courbe est une parabole tournée vers le bas, positive entre \(0\) et \(1\).
- Défi n°44 — La limite classique Étudier le comportement de la suite \(u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) lorsque \(n\) devient grand.
Compétences utiles : suites, puissances, logarithme ou encadrements, limites.Surprise : cette suite fait apparaître naturellement le nombre \(e\).
Conseil
Calcule quelques valeurs à la calculatrice. La suite semble se rapprocher d’un nombre célèbre. Pour démontrer rigoureusement, on peut utiliser des encadrements ou le logarithme.
Compléments
{module [104]}