• Probabilites : arbre pondere, probabilite conditionnelle, probabilite d'une intersection, calcul de \(P_C(V)\), interpretation d'une probabilite conditionnelle.
• Variables aleatoires : loi de probabilite, esperance, variance, independance de variables aleatoires, transformation \(Z=0,6(X+Y)\), moyenne \(M_n\), Bienayme-Tchebychev.
• Geometrie dans l'espace : representation parametrique d'une droite, equation cartesienne d'un plan, vecteur normal, orthogonalite, milieu, droites secantes, angle avec produit scalaire.
• Denombrement : code de 3 symboles differents dans l'ordre, code de 4 symboles differents sans ordre, comparaison de probabilites.
• Equations differentielles : resolution de \(y'=ay+b\), condition initiale, interpretation physique du modele.
• Suites : suite recurrente non lineaire avec terme exponentiel, recurrence, suite decroissante admise, convergence, calcul de limite.
• Python : boucle while, condition d'arret, mise a jour d'une suite, valeur renvoyee.
• Fonctions : logarithme, derivee, derivee seconde, lecture graphique, tangente, asymptote, variations, extremum.
• Integrales : calcul de \(\int_0^2 \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,dx\), aire sous une courbe.

Exercice 1 — Geometrie dans l'espace

• Points \(A(2;1;1)\), \(B(3;-2;0)\), \(C(0;-1;1)\) et \(D(0;0;2)\).
• Verification que les points \(A\), \(B\) et \(C\) definissent un plan.
• Vecteur normal \(\vec n\), equation cartesienne du plan \((ABC)\) : \(x-y+4z-5=0\).
• Droite \(\Delta\) passant par \(D\) et orthogonale au plan \((ABC)\).
• Projeté orthogonal de \(D\) sur le plan \((ABC)\), aire du triangle \(ABC\), volume du tetraedre \(ABCD\).
• Question avec le point \(D_k(0;0;k)\), coplanarite et projeté orthogonal.

Exercice 2 — Suites et equation differentielle

• Pollution d'un bassin de \(30\,000\) litres d'eau.
• Modele discret : \(V_0=0\) et \(V_{n+1}=0,995V_n+6\).
• Calcul de premiers termes, programme Python, recurrence et convergence.
• Modele continu : equation differentielle \(y'=-0,005y+6\).
• Solution \(v(t)=1200(1-e^{-0,005t})\), limite, variations et interpretation.
• Etude de seuils : nettoyage complet a partir de 5 % du volume du bassin et depassement de \(50\) litres.

Exercice 3 — Probabilites et denombrement

• Vrai-faux sur une etude concernant les musiciens professionnels.
• Probabilites conditionnelles avec les evenements \(O\) : jouer de la Pop et \(F\) : etre une femme.
• Variable aleatoire suivant une loi binomiale avec \(n=5000\) et \(p=0,062\).
• Calcul de \(P(X\leq 340)\), puis utilisation de l'inegalite de Bienayme-Tchebychev.
• Denombrement d'equipes de 5 joueurs constituees de 2 musiciens professionnels et de 3 autres personnes.

Exercice 4 — Fonctions, primitives et integrales

• Lecture graphique : tangente horizontale, solution de \(f(x)=0\) et coefficient directeur d'une tangente.
• Identification de deux courbes representant des primitives de \(f\).
• Modelisation d'un logo avec la fonction \(f(x)=(2x-1)e^{-2x+3}\).
• Limite en \(+\infty\), derivee \(f'(x)=(-4x+4)e^{-2x+3}\) et tableau de variations.
• Existence et unicite de \(\alpha\) tel que \(f(\alpha)=0,15\), valeur approchee au dixieme.
• Calcul d'une integrale par parties et determination du volume d'un porte-cle.