• Exercice 1 : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, loi binomiale, espérance, variance et Bienaymé-Tchebychev.
• Exercice 2 : suite récurrente, convergence, limite, seuil en Python et équation différentielle \(y'=ay+b\).
• Exercice 3 : coordonnées, produit scalaire, équation de plan, projeté orthogonal, distance point-plan et volume.
• Exercice 4 : logarithme népérien, limites, dérivation, variations, convexité, tangente et inégalité.

• Exercice 1 : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, loi binomiale, fréquence aléatoire, espérance, variance et Bienaymé-Tchebychev.
• Exercice 2 : dérivation, variations, suite récurrente, récurrence, convergence, suite géométrique, somme de termes et Python.
• Exercice 3 : coordonnées, droite paramétrique, équation de plan, projeté orthogonal, produit scalaire, volume et distance point-plan.
• Exercice 4 : logarithme népérien, limites, dérivation, variations, équation, aire sous courbe, intégration par parties et limite d’intégrale.

• Exercice 1 : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, suite récurrente, suite géométrique, limite, seuil et boucle Python.
• Exercice 2 : limite de fonction, récurrence, loi binomiale, primitive, intégrale dépendant d’un paramètre et combinaisons.
• Exercice 3 : coordonnées, non-alignement, vecteur normal, équation de plan, droite paramétrique, coplanarité et intersection.
• Exercice 4 : sinus, cosinus, dérivation, variations, signe, limite et démonstration d’une inégalité.

Exercice 1 — Fonction homographique, suite et Python

• Étude de la fonction \(f(x)=\dfrac{x-2}{2x-3}\), tableau de variations et image de l’intervalle \([0;1]\).
• Suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n-3}\).
• Récurrence, monotonie, convergence, limite et interprétation d’une fonction Python de seuil.
• Calcul des premiers termes, conjecture puis démonstration d’une expression explicite.

Exercice 2 — Lancers-francs, loi binomiale et fonction polynôme

• Modélisation d’un nombre de lancers-francs réussis par une loi binomiale de paramètres \(16\) et \(0,492\).
• Espérance, calculs de probabilités et probabilité de réussir au moins six lancers-francs.
• Variable aléatoire \(Y\) associée à trois lancers-francs, loi de probabilité et expression de \(P(Y\geq 2)\).
• Étude de la fonction \(f(x)=-2x^3+3x^2\), variations, équation \(f(x)=0,9\) et interprétation.

Exercice 3 — Géométrie dans l’espace

• Points \(A(1;2;3)\), \(B(-1;3;1)\), \(C(2;1;6)\) et \(D(3;-2;-1)\) dans un repère orthonormé.
• Plan \((ABC)\), vecteur normal, équation cartésienne et droite perpendiculaire passant par \(D\).
• Projeté orthogonal, distance point-plan, produit scalaire, sinus d’un angle, aire du triangle \(ABC\) et volume du tétraèdre \(ABCD\).

Exercice 4 — Vrai-faux

• Convexité d’une fonction puissance de degré 5.
• Dénombrement de tirages de 5 jetons parmi 32 avec au moins un multiple de 8.
• Arbre pondéré et probabilité conditionnelle.
• Équation différentielle \(y'+y=e^{-x}\cos(x)\), vérification d’une solution particulière et forme des solutions.

Exercice 1 — Probabilités, loi binomiale et concentration

• Contrôle qualité de lames d’escrime provenant de trois fournisseurs.
• Arbre pondéré, probabilité d’intersection, probabilités totales et probabilité conditionnelle.
• Variable aléatoire suivant une loi binomiale sur un échantillon de 75 lames.
• Calcul d’une probabilité exacte, étude d’un seuil, espérance, variance et inégalité de concentration.

Exercice 2 — Vrai-faux : équation différentielle, fonctions et suites

• Équation différentielle \(y' + y = 2\cos(x)\), intersections de courbes, suites et somme géométrique.

Exercice 3 — Géométrie dans l’espace

• Cube, coordonnées de milieux, produit scalaire, angle, vecteur normal, équation de plan, projeté orthogonal, distance point-plan et coplanarité.

Exercice 4 — Logarithme, convexité, intégrales et Python

• Étude de \(f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}\), limites, dérivées, variations, tangente, convexité et inégalités.
• Suite d’intégrales, somme de rectangles, script Python, intégration par parties et limite.

Exercice 1 — Géométrie dans l’espace

• Travail dans un repère orthonormé avec les points \(A(1;0;3)\), \(B(2;1;-1)\), \(C(1;1;1)\) et \(H(0;2;1)\).
• Démonstration que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
• Vecteur normal, équation cartésienne du plan \((ABC)\) et appartenance du point \(H\).
• Mesure de l’angle \(\widehat{BAH}\).
• Représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan \((ABC)\) passant par \(H\).
• Recherche d’un point situé à distance 6 du plan \((ABC)\).

Exercice 2 — Probabilités et variable aléatoire binomiale

• Arbre de probabilités pour trois classes d’âge et publication sur un réseau social.
• Probabilité d’intersection, probabilités totales et probabilité conditionnelle.
• Variable aléatoire suivant une loi binomiale sur 100 personnes interrogées.
• Probabilité d’un seuil, espérance et interprétation.
• Moyenne de 150 variables aléatoires et démonstration d’une probabilité supérieure à 98 %.

Exercice 3 — Fonction logarithme, suite et Python

• Étude de la fonction \(f(x)=\ln(3x^2+2x)\) sur \([2;+\infty[\).
• Fonction \(g(x)=f(x)-x\), existence et unicité d’une solution \(\alpha\) de \(g(x)=0\).
• Suite définie par \(a_{n+1}=\ln(3a_n^2+2a_n)\).
• Encadrement, croissance, convergence et limite de la suite.
• Suite auxiliaire \((b_n)\), encadrement \(a_n\leq b_n\) et algorithme Python d’approximation.

Exercice 4 — Équation différentielle, intégrale et tangentes

• Association graphique de trois courbes aux fonctions \(f\), \(f'\) et \(f''\).
• Équation différentielle \(y'+y=(2x-3)e^{-x}\), solution particulière et solution vérifiant \(f(0)=2\).
• Étude du signe et des limites de \(f(x)=e^{-x}(x^2-3x+2)\).
• Calcul d’une intégrale par deux intégrations par parties successives et interprétation graphique.
• Étude des tangentes à la courbe passant par l’origine du repère.

Exercice 1 — Probabilités et variables aléatoires

• Réservation d’une cabine et d’un emplacement pour véhicule.
• Arbre pondéré, probabilité d’intersection, probabilité conditionnelle et probabilités totales.
• Variable aléatoire \(X\) donnant le prix des suppléments, calcul de \(E(X)\) et \(V(X)\).
• Variable aléatoire \(Z=0,6(X+Y)\), calcul d’espérance et de variance.
• Moyenne \(M_n\) d’un échantillon, variance de \(M_n\) et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 2 — Géométrie dans l’espace et dénombrement

• Droite paramétrique, points de l’espace, plan d’équation cartésienne.
• Orthogonalité d’un plan et d’une droite, milieu d’un segment, droites sécantes.
• Angle dans l’espace à l’aide du produit scalaire.
• Comparaison de probabilités dans un problème de digicodes : code ordonné de 3 symboles et code non ordonné de 4 symboles.

Exercice 3 — Équation différentielle, suites et Python

• Modélisation d’une phase de chauffage par l’équation différentielle \(y'=-0,035y+0,91\).
• Détermination de la solution vérifiant \(T(0)=18\), temps d’atteinte de \(20^\circ\)C et limite du modèle.
• Suite récurrente modélisant le refroidissement, preuve par récurrence, convergence et limite.
• Complétion d’un programme Python de seuil pour déterminer le moment où le chauffage redémarre.

Exercice 4 — Fonction logarithme et intégrale

• Fonction \(f(x)=a+\dfrac{b\ln(x+1)}{x+1}\), lecture graphique d’une tangente et détermination de paramètres.
• Dérivée, signe de la dérivée seconde en un point, asymptote horizontale et variations.
• Résolution d’une inéquation avec logarithme.
• Existence et unicité d’une solution de \(f(x)=1,5\) sur \([2;+\infty[\).
• Calcul de \(\displaystyle \int_0^2 \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,dx\) et aire sous la courbe.

Exercice 1 — Géométrie dans l’espace

• Points \(A(2;1;1)\), \(B(3;-2;0)\), \(C(0;-1;1)\) et \(D(0;0;2)\).
• Vérification que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
• Vecteur normal et équation cartésienne du plan \((ABC)\).
• Droite \(\Delta\) passant par \(D\) et orthogonale au plan \((ABC)\).
• Projeté orthogonal de \(D\) sur le plan \((ABC)\), aire du triangle \(ABC\), volume du tétraèdre \(ABCD\).
• Question avec le point \(D_k(0;0;k)\), coplanarité et projeté orthogonal.

Exercice 2 — Suites et équation différentielle

• Pollution d’un bassin de \(30\,000\) litres d’eau.
• Modèle discret : \(V_0=0\) et \(V_{n+1}=0,995V_n+6\).
• Calcul de premiers termes, programme Python, récurrence et convergence.
• Modèle continu : équation différentielle \(y'=-0,005y+6\).
• Solution avec exponentielle, limite, variations et interprétation.
• Étude de seuils et comparaison entre modèle discret et modèle continu.

Exercice 3 — Probabilités et dénombrement

• Vrai-faux sur une étude concernant les musiciens professionnels.
• Probabilités conditionnelles et formule des probabilités totales.
• Variable aléatoire suivant une loi binomiale.
• Calcul de probabilité avec calculatrice, puis utilisation de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• Dénombrement d’équipes constituées de musiciens professionnels et d’autres personnes.

Exercice 4 — Fonctions, primitives et intégrales

• Lecture graphique : tangente horizontale, solution d’une équation et coefficient directeur d’une tangente.
• Identification de deux courbes représentant des primitives d’une fonction.
• Modélisation d’un logo avec une fonction du type produit d’un polynôme par une exponentielle.
• Limite en \(+\infty\), dérivée et tableau de variations.
• Existence et unicité d’une solution, valeur approchée.
• Calcul d’une intégrale par parties, aire et volume d’un objet.

Exercice 1 — Probabilités et variables aléatoires

• Contrôle de réacteurs nucléaires : réacteur en arrêt, au ralenti ou en fonctionnement normal.
• Arbre pondéré, probabilité d’intersection, probabilité conditionnelle et probabilités totales.
• Détermination d’une probabilité conditionnelle inconnue à partir de \(P(C)=0,35\).
• Variable aléatoire \(X\) modélisant la production journalière d’un réacteur.
• Calcul de \(E(X)=12,5\) et \(V(X)=40,75\).
• Somme \(S=X_1+\cdots+X_{12}\), espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 2 — Équation différentielle, suites et modèle médical

• Modélisation d’une quantité de médicament dans le sang.
• Équation différentielle \(y'=-\dfrac{3}{10}y+1\), solution avec condition initiale \(q(0)=1\).
• Limite, variations, seuil de toxicité et résolution d’une inéquation exponentielle.
• Suite récurrente \(u_{n+1}=0,7u_n+0,75\).
• Preuve par récurrence de l’encadrement \(u_n\leq u_{n+1}\leq 4\).
• Convergence, limite, suite auxiliaire géométrique \(v_n=u_n-2,5\) et expression explicite.
• Recherche du nombre d’injections supplémentaires pour dépasser \(2,4\) mg.

Exercice 3 — Géométrie dans l’espace

• Points \(S(-1;\sqrt2;-4)\), \(A(2;\sqrt2;-1)\), \(B(1;\sqrt2;0)\) et \(C(2;0;-1)\).
• Droite \(d\) donnée par une représentation paramétrique.
• Plan \(P\) d’équation cartésienne \(x-z+1=0\).
• Vrai-faux sur vecteur normal, droites sécantes, droite parallèle à un plan et projeté orthogonal.

Exercice 4 — Fonction logarithme, convexité et intégrale

• Lecture graphique d’une tangente en \(A(1;0)\), calcul de \(f'(1)\), concavité et valeur de \(f''(1)\).
• Étude de la fonction \(f(x)=x\ln(2x-1)\) sur \(]\dfrac12;+\infty[\).
• Limite en \(\dfrac12\), interprétation graphique, résolution de \(f(x)=0\).
• Dérivée seconde, point d’inflexion et lien avec l’axe des abscisses.
• Positivité sur \([1;2]\), calcul d’intégrale et aire avec intégration par parties.
• Généralisation avec \(f_a(x)=x\ln(ax-1)\) et alignement des points d’inflexion.

Exercice 1 — Probabilités, loi binomiale et suite

• Réseau de communication constitué d’une chaîne de relais transmettant des messages.
• Arbre pondéré avec les événements \(A_1\) et \(A_2\), probabilités conditionnelles et calcul de \(P(A_2)=0,9164\).
• Calcul de \(P_{A_2}(A_1)\) et interprétation dans le contexte d’un message reçu sans erreur.
• Variable aléatoire \(X\) suivant la loi binomiale de paramètres \(n=50\) et \(p=0,04\).
• Probabilité d’obtenir exactement 4 tests positifs, puis au moins un test positif.
• Calcul de l’espérance et de la variance de \(X\).
• Moyenne \(M=\dfrac{X_1+\cdots+X_{25}}{25}\), espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• Suite \((p_n)\) définie par \(p_1=0,96\) et \(p_{n+1}=0,59p_n+0,35\).
• Preuve par récurrence de la décroissance, convergence et valeur exacte de la limite.

Exercice 2 — Géométrie dans l’espace

• Module d’escalade modélisé par le tétraèdre \(ABCD\).
• Points \(B\left(\dfrac92;0;0\right)\), \(C\left(\dfrac94;3;0\right)\) et \(D\left(\dfrac32;1;3\right)\) dans un repère orthonormé d’origine \(A\).
• Triangle \(ABC\), hauteur issue de \(C\), triangle isocèle et aire égale à \(6,75\) m².
• Plan \((ABC)\) d’équation \(z=0\) et projeté orthogonal \(H\left(\dfrac32;1;0\right)\) de \(D\) sur ce plan.
• Calcul du volume du tétraèdre à partir de l’aire de la base et de la hauteur.
• Vecteur normal au plan \((BCD)\), équation cartésienne \(4x+3y+3z-18=0\).
• Droite \(\Delta\) orthogonale au plan \((BCD)\) passant par \(D\), représentation paramétrique et intersection avec le plan \((ABC)\).
• Point \(L\left(-\dfrac52;-2;0\right)\) et vérification d’une condition d’angle pour l’adaptation du module aux débutants.

Exercice 3 — Vrai-faux : équations différentielles et fonctions

• Équation différentielle \(y'+2y=0\), solution vérifiant \(f(0)=1\) et point de coordonnées \((\ln 2;\dfrac12)\).
• Fonction \(f(x)=x-\cos(x)\) sur \(\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\) et position de la courbe par rapport à ses tangentes.
• Fonction \(f(x)=1+\dfrac{\sin(x)}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) et asymptote horizontale.
• Équation différentielle \(y'-3y=2-6x\) et vérification d’une fonction candidate \(f(x)=2x-e^{3x}\).

Exercice 4 — Fonction logarithme, primitives, intégrales et Python

• Famille de fonctions \(f_k(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}\), définies sur \(]0;+\infty[\).
• Étude graphique du cas \(k=2\) : primitive, variations, dérivée première, dérivée seconde, point d’inflexion et tangente.
• Étude du cas \(k=1\) : dérivée \(f_1'(x)=-1-\dfrac{\ln x}{x^2}\), limite en \(+\infty\), dérivée seconde et tableau de variations.
• Existence et unicité d’une solution \(\alpha\) de l’équation \(f_1'(x)=0\), puis maximum de \(f_1\).
• Programme Python à compléter pour obtenir une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
• Primitive de la fonction \(h(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\) et étude d’une valeur moyenne sur l’intervalle \([1;e]\).

Exercice 1 — Probabilités et dénombrement

• Stock de planches de surf : planches en mousse et planches en résine.
• Évènements \(M\), \(B\), \(R\) et \(C\) : mousse, bon état, recyclage et consolidation.
• Arbre pondéré à compléter avec les données de l’énoncé.
• Interprétation de \(P(\overline M\cap R)=0,05\).
• Calcul d’une probabilité conditionnelle concernant une planche en résine consolidée.
• Vérification de l’affirmation : au moins \(\dfrac34\) des planches sont en bon état.
• Jeu avec une urne contenant 5 boules noires et \(n\) boules rouges.
• Tirage simultané de deux boules et calcul d’une probabilité avec combinaisons.
• Transformation de l’expression de \(p\) et recherche des entiers \(n\) tels que \(p<\dfrac12\).

Exercice 2 — Vrai-faux : analyse, équation différentielle et Python

• Limite en \(+\infty\) de \(f(x)=(x+1)e^{-x}\).
• Convexité de la fonction \(g(x)=xe^x\) sur un intervalle.
• Calcul de \(\displaystyle \int_0^\pi x\sin(x)\,dx\) par intégration par parties.
• Équation différentielle \(y'=2y-5\) et vérification d’une solution avec condition initiale.
• Fonction Python mystere utilisant une boucle for et renvoyant \(5!\) pour mystere(5).

Exercice 3 — Suite récurrente et limite

• Fonction \(f(x)=\ln(3x^2+1)\) sur \([0;+\infty[\).
• Suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\ln(3u_n^2+1)\).
• Calcul de \(u_1\) et conjectures graphiques sur la monotonie et la convergence.
• Preuve par récurrence de l’encadrement \(2\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4\).
• Convergence de la suite par monotonie et majoration.
• Fonction auxiliaire \(g(x)=\ln(3x^2+1)-x\).
• Calcul de \(g'(x)\), variations de \(g\) sur \([2;4]\), existence et unicité de \(\alpha\) tel que \(g(\alpha)=0\).
• Justification que la limite \(\ell\) de la suite est égale à \(\alpha\).

Exercice 4 — Géométrie dans l’espace

• Points \(A(1;2;-1)\), \(B(0;3;2)\), \(C(-2;4;0)\) et \(D(8;2;-11)\).
• Démonstration que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
• Vecteur normal au plan \((ABC)\) et équation cartésienne \(5x+8y-z-22=0\).
• Vérification que \(D\) n’appartient pas au plan \((ABC)\).
• Droite \(\Delta\), orthogonale au plan \((ABC)\) et passant par \(D\), donnée par une représentation paramétrique.
• Recherche du point \(E\), intersection de \(\Delta\) et du plan \((ABC)\).
• Calcul exact de la distance \(DE\), distance du point \(D\) au plan \((ABC)\).
• Utilisation d’un logiciel de calcul formel pour montrer que \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \((BC)\).
• Calcul du volume du tétraèdre \(ABCD\).

Exercice 1 — Probabilités, loi binomiale et concentration

• Étude de la part des filles et des garçons s’orientant vers des études scientifiques après la spécialité mathématiques en terminale.
• Dans une académie : \(40\%\) de filles et \(60\%\) de garçons.
• Parmi les filles, \(33,75\%\) envisagent des études d’ingénieur ; parmi les garçons, \(54,25\%\) envisagent des études d’ingénieur.
• Évènements \(F\) : « l’élève est une fille » et \(I\) : « l’élève envisage des études d’ingénieur ».
• Représentation par un arbre pondéré, calcul d’une probabilité d’intersection et démonstration de \(P(I)=0,4605\).
• Calcul de \(P_I(F)\), probabilité qu’il s’agisse d’une fille sachant que l’élève envisage des études d’ingénieur.
• Modélisation par une loi binomiale du nombre de filles souhaitant devenir ingénieure dans un échantillon de \(n\) lycéennes.
• Espérance, résolution d’une inéquation pour obtenir une probabilité supérieure ou égale à \(0,99\), puis étude du cas \(n=29\).
• Somme \(S=X_1+X_2+\cdots+X_{10}\) de variables aléatoires indépendantes associées à dix académies.
• Calcul de l’espérance et de la variance de \(S\), puis discussion d’une affirmation de concentration.

Exercice 2 — Fonction logarithme, suite récurrente et Python

• Fonction \(f\) définie sur \([4;10]\) par \(f(x)=\ln(8x^3-1)\).
• Démonstration de la formule \(f'(x)=\dfrac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}\).
• Étude de la croissance de \(f\) sur \([4;10]\) et encadrement \(4\leq f(x)\leq 10\).
• Fonction \(g(x)=f(x)-x\), existence et unicité d’une solution \(\alpha\) de l’équation \(f(x)=x\).
• Suite définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).
• Calcul de \(u_1\), preuve par récurrence de l’encadrement \(4\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 10\), convergence et limite.
• Programme Python utilisant la fonction log et une boucle while pour déterminer un rang de dépassement.

Exercice 3 — Géométrie dans l’espace

• Points \(A(-1;1;1)\), \(B(1;-6;-1)\) et \(C(-5;2;3)\).
• Démonstration que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
• Vecteur normal au plan \((ABC)\) et équation cartésienne \(6x-2y+13z-5=0\).
• Plan \((P)\) d’équation cartésienne \(8x-2y-4z+18=0\) et démonstration de la perpendicularité des plans.
• Droite \((d)\) donnée par une représentation paramétrique et intersection avec le plan \((ABC)\) au point \(E(-3;-5;1)\).
• Point \(H(-2;1;0)\), projeté orthogonal de \(A\) sur \((d)\), distance du point \(A\) à la droite \((d)\) et aire du triangle \(AHE\).

Exercice 4 — Vrai-faux : analyse, dénombrement, équation différentielle, suite et aire

• Fonction \(f(x)=xe^{x^2}\) : étude d’une affirmation de concavité sur \(]-\infty;0]\).
• Dénombrement : répartition de \(24\) rapaces numérotés en trois groupes numérotés de \(1\) à \(3\), chacun constitué de \(8\) rapaces.
• Équation différentielle \(y'=-y+1\), fonction \(g(x)=f(x)-1\) et vérification de l’affirmation \(g'=-g\).
• Suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel non nul par \(u_n=\dfrac{\sin(n)}{n}\) et étude de sa limite.
• Parabole d’équation \(y=-x^2+4x+1\), droite d’équation \(y=x+1\) et aire du domaine compris entre les deux courbes.

• Exercice 1: Arbre pondéré et probabilités conditionnelles. Pour les livraisons expérimentées, \(X\sim\mathcal B(200;0{,}95)\). Une seconde partie utilise deux variables binomiales indépendantes et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• Exercice 2: On étudie \(f(x)=\dfrac{2x}{x+3}\) et la suite définie par $$u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n}{u_n+3}.$$ En posant \(v_n=\dfrac1{u_n}\), puis \(w_n=v_n+1\), on obtient une suite géométrique de raison \(\dfrac32\). Recherche d’un seuil avec logarithme et Python.
• Exercice 3: Quatre affirmations de géométrie dans l’espace : coplanarité de vecteurs, orthogonalité droite-plan, équation de plan, intersection et distance d’un point à un plan.
• Exercice 4: Équation différentielle $$2y' +3y=8e^{-3t/2}.$$ La solution s’annulant en 0 est $$f(t)=4t\,e^{-3t/2}.$$ Limite, dérivée, variations, TVI et valeur moyenne sur \([1;3]\), calculée par intégration par parties.

• Exercice 1: Lancers francs : \(X\sim\mathcal B(5;0{,}6)\), puis \(Y\sim\mathcal B(n;0{,}6)\) avec $$P(Y\geq1)=1-0{,}4^n.$$ Python pour un seuil. Une seconde partie définit $$p_{n+1}=0{,}3p_n+0{,}4,$$ avec étude par récurrence et convergence vers \(\dfrac47\).
• Exercice 2: Étude de $$f(x)=(3x-1)e^{-x}+2,$$ avec $$f'(x)=(4-3x)e^{-x}.$$ Limites, variations, TVI, signe, primitive $$F(x)=(-3x-2)e^{-x}+2x,$$ aire entre \(0\) et \(2\), puis comparaison avec la tangente \(y=4x+1\).
• Exercice 3: Vrai-faux : équation différentielle \(y'-2y=(x-3)e^x\), intégration par parties de \(\int_0^\pi(2x+1)\cos x\,dx\), inéquation logarithmique, suite homographique transformée, puis inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• Exercice 4: Points \(R(1;0;6)\), \(S(1;3;2)\), \(T(3{,}5;7;5)\) et \(A(-2{,}5;8;4{,}5)\). Plan \((RST)\), vecteur normal, droite orthogonale, projeté, volume du tétraèdre et minimisation de la distance \(AM\) avec $$AM^2=21s^2+24s+21.$$