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Amérique du Nord J1
Code : 26-MATJ1AN1
Date : 20 mai 2026
♦ Sujet et corrigé Math93
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Thèmes dominants : Probabilités Variables aléatoires Suites Éq. diff. Espace Fonctions
- Exercice 1 : probabilités et variables aléatoires. (6 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, loi binomiale, espérance, variance et Bienaymé-Tchebychev.
- Exercice 2 : suites et équation différentielle. (4 points)
Notions : suite récurrente, convergence, limite, seuil en Python et équation différentielle \(y'=ay+b\).
- Exercice 3 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : coordonnées, produit scalaire, équation de plan, projeté orthogonal, distance point-plan et volume.
- Exercice 4 : fonction logarithme. (5 points)
Notions : logarithme népérien, limites, dérivation, variations, convexité, tangente et inégalité.
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Amérique du Nord J2
Code : 26-MATJ2AN1
Date : 21 mai 2026
♦ Sujet et corrigé Math93
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Thèmes dominants : Probabilités Variables aléatoires Fonctions Suites Espace Intégrales
- Exercice 1 : probabilités et variables aléatoires. (4 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, loi binomiale, fréquence aléatoire, espérance, variance et Bienaymé-Tchebychev.
- Exercice 2 : fonctions, suites et somme de termes. (6 points)
Notions : dérivation, variations, suite récurrente, récurrence, convergence, suite géométrique, somme de termes et Python.
- Exercice 3 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : coordonnées, droite paramétrique, équation de plan, projeté orthogonal, produit scalaire, volume et distance point-plan.
- Exercice 4 : fonction logarithme et intégrales. (5 points)
Notions : logarithme népérien, limites, dérivation, variations, équation, aire sous courbe, intégration par parties et limite d’intégrale.
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Asie-Pacifique J1
Code : 26-MATJ1A1
Date : 9 juin 2026
♦ Sujet et corrigé Math93
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Thèmes dominants : Probabilités Suites Python Fonctions Intégrales Espace Trigonométrie Dénombrement
- Exercice 1 : probabilités, suites et Python. (5 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, suite récurrente, suite géométrique, limite, seuil et boucle Python.
- Exercice 2 : vrai-faux : limites, suites, loi binomiale, intégrales et dénombrement. (5 points)
Notions : limite de fonction, récurrence, loi binomiale, primitive, intégrale dépendant d’un paramètre et combinaisons.
- Exercice 3 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : coordonnées, non-alignement, vecteur normal, équation de plan, droite paramétrique, coplanarité et intersection.
- Exercice 4 : fonctions trigonométriques, dérivation et inégalité. (5 points)
Notions : sinus, cosinus, dérivation, variations, signe, limite et démonstration d’une inégalité.
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Asie-Pacifique J2
Code : 26-MATJ2A1
Date : 10 juin 2026
♦ Sujet et corrigé Math93
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Thèmes dominants : Suites Fonctions Probabilités Variables aléatoires Espace Dénombrement Éq. diff. Python
- Exercice 1 : fonction homographique, suite récurrente et Python. (5 points)
Notions : tableau de variations, intervalle stable, récurrence, monotonie, convergence, limite, seuil en Python et formule explicite.
- Exercice 2 : loi binomiale, probabilités et fonction polynôme. (5 points)
Notions : loi binomiale, espérance, calculs de probabilités, variable aléatoire, tableau de loi, fonction polynôme, variations, équation et interprétation.
- Exercice 3 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : coordonnées, vecteur normal, équation de plan, droite perpendiculaire, projeté orthogonal, distance point-plan, produit scalaire, aire et volume.
- Exercice 4 : vrai-faux : convexité, dénombrement, probabilités et équation différentielle. (5 points)
Notions : convexité, combinaisons, complémentaire, arbre pondéré, probabilité conditionnelle, équation différentielle et vérification de solutions.
Notions détaillées du sujet
Exercice 1 — Fonction homographique, suite et Python
- Étude de la fonction \(f(x)=\dfrac{x-2}{2x-3}\), tableau de variations et image de l’intervalle \([0;1]\).
- Suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n-3}\).
- Récurrence, monotonie, convergence, limite et interprétation d’une fonction Python de seuil.
- Calcul des premiers termes, conjecture puis démonstration d’une expression explicite.
Exercice 2 — Lancers-francs, loi binomiale et fonction polynôme
- Modélisation d’un nombre de lancers-francs réussis par une loi binomiale de paramètres \(16\) et \(0,492\).
- Espérance, calculs de probabilités et probabilité de réussir au moins six lancers-francs.
- Variable aléatoire \(Y\) associée à trois lancers-francs, loi de probabilité et expression de \(P(Y\geq 2)\).
- Étude de la fonction \(f(x)=-2x^3+3x^2\), variations, équation \(f(x)=0,9\) et interprétation.
Exercice 3 — Géométrie dans l’espace
- Points \(A(1;2;3)\), \(B(-1;3;1)\), \(C(2;1;6)\) et \(D(3;-2;-1)\) dans un repère orthonormé.
- Plan \((ABC)\), vecteur normal, équation cartésienne et droite perpendiculaire passant par \(D\).
- Projeté orthogonal, distance point-plan, produit scalaire, sinus d’un angle, aire du triangle \(ABC\) et volume du tétraèdre \(ABCD\).
Exercice 4 — Vrai-faux
- Convexité d’une fonction puissance de degré 5.
- Dénombrement de tirages de 5 jetons parmi 32 avec au moins un multiple de 8.
- Arbre pondéré et probabilité conditionnelle.
- Équation différentielle \(y'+y=e^{-x}\cos(x)\), vérification d’une solution particulière et forme des solutions.
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Centres étrangers J1
Code : 26-MATJ1G11
Date : 10 juin 2026
♦ Sujet et corrigé Math93
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Thèmes dominants : Probabilités Variables aléatoires Suites Éq. diff. Fonctions Espace Intégrales Python
- Exercice 1 : probabilités, loi binomiale et concentration. (5 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, loi binomiale, espérance, variance et inégalité de concentration.
- Exercice 2 : vrai-faux : équation différentielle, fonctions et suites. (5 points)
Notions : équation différentielle, exponentielle, sinus, intersection de courbes, suites, récurrence et somme géométrique.
- Exercice 3 : géométrie dans l’espace dans un cube. (4 points)
Notions : coordonnées, produit scalaire, angle, vecteur normal, équation de plan, projeté orthogonal, distance point-plan, droite paramétrique et coplanarité.
- Exercice 4 : logarithme, convexité, intégrales et Python. (6 points)
Notions : logarithme népérien, limites, dérivation, variations, tangente, convexité, inégalités, intégrales, somme de rectangles, Python et intégration par parties.
Notions détaillées du sujet
Exercice 1 — Probabilités, loi binomiale et concentration
- Contrôle qualité de lames d’escrime provenant de trois fournisseurs.
- Arbre pondéré, probabilité d’intersection, probabilités totales et probabilité conditionnelle.
- Variable aléatoire suivant une loi binomiale sur un échantillon de 75 lames.
- Calcul d’une probabilité exacte, étude d’un seuil, espérance, variance et inégalité de concentration.
Exercice 2 — Vrai-faux : équation différentielle, fonctions et suites
- Équation différentielle \(y' + y = 2\cos(x)\), intersections de courbes, suites et somme géométrique.
Exercice 3 — Géométrie dans l’espace
- Cube, coordonnées de milieux, produit scalaire, angle, vecteur normal, équation de plan, projeté orthogonal, distance point-plan et coplanarité.
Exercice 4 — Logarithme, convexité, intégrales et Python
- Étude de \(f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}\), limites, dérivées, variations, tangente, convexité et inégalités.
- Suite d’intégrales, somme de rectangles, script Python, intégration par parties et limite.
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Centres étrangers J2
Code : 26-MATJ2G11
Date : 11 juin 2026
♦ Sujet et corrigé Math93
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Thèmes dominants : Espace Probabilités Variables aléatoires Fonctions Suites Python Éq. diff. Intégrales
- Exercice 1 : géométrie dans l’espace. (4 points)
Notions : points et vecteurs, plan de l’espace, vecteur normal, équation cartésienne, appartenance d’un point à un plan, angle, droite orthogonale à un plan et distance point-plan.
- Exercice 2 : probabilités et variable aléatoire binomiale. (4 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, probabilités totales, loi binomiale, espérance, variance, moyenne de variables aléatoires et concentration.
- Exercice 3 : fonction logarithme, suite récurrente et Python. (6 points)
Notions : fonction croissante, étude de signe, suite définie par récurrence, encadrement, monotonie, convergence, limite, suites adjacentes et algorithme Python.
- Exercice 4 : courbes, équation différentielle, intégrale et tangentes. (6 points)
Notions : lecture graphique de \(f\), \(f'\) et \(f''\), solution particulière, résolution d’une équation différentielle, signe d’une fonction, limites, intégration par parties et tangentes passant par l’origine.
Notions détaillées du sujet
Exercice 1 — Géométrie dans l’espace
- Travail dans un repère orthonormé avec les points \(A(1;0;3)\), \(B(2;1;-1)\), \(C(1;1;1)\) et \(H(0;2;1)\).
- Démonstration que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
- Vecteur normal, équation cartésienne du plan \((ABC)\) et appartenance du point \(H\).
- Mesure de l’angle \(\widehat{BAH}\).
- Représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan \((ABC)\) passant par \(H\).
- Recherche d’un point situé à distance 6 du plan \((ABC)\).
Exercice 2 — Probabilités et variable aléatoire binomiale
- Arbre de probabilités pour trois classes d’âge et publication sur un réseau social.
- Probabilité d’intersection, probabilités totales et probabilité conditionnelle.
- Variable aléatoire suivant une loi binomiale sur 100 personnes interrogées.
- Probabilité d’un seuil, espérance et interprétation.
- Moyenne de 150 variables aléatoires et démonstration d’une probabilité supérieure à 98 %.
Exercice 3 — Fonction logarithme, suite et Python
- Étude de la fonction \(f(x)=\ln(3x^2+2x)\) sur \([2;+\infty[\).
- Fonction \(g(x)=f(x)-x\), existence et unicité d’une solution \(\alpha\) de \(g(x)=0\).
- Suite définie par \(a_{n+1}=\ln(3a_n^2+2a_n)\).
- Encadrement, croissance, convergence et limite de la suite.
- Suite auxiliaire \((b_n)\), encadrement \(a_n\leq b_n\) et algorithme Python d’approximation.
Exercice 4 — Équation différentielle, intégrale et tangentes
- Association graphique de trois courbes aux fonctions \(f\), \(f'\) et \(f''\).
- Équation différentielle \(y'+y=(2x-3)e^{-x}\), solution particulière et solution vérifiant \(f(0)=2\).
- Étude du signe et des limites de \(f(x)=e^{-x}(x^2-3x+2)\).
- Calcul d’une intégrale par deux intégrations par parties successives et interprétation graphique.
- Étude des tangentes à la courbe passant par l’origine du repère.
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Métropole, La Réunion, Mayotte J1
Code : 26-MATJ1ME1
Date : 16 juin 2026
♥ Sujet et corrigé Métropole 2026
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APMEP : Sujet PDF / Sujet LaTeX
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Thèmes dominants : Probabilités Variables aléatoires Espace Dénombrement Éq. diff. Suites Python Fonctions Intégrales
- Exercice 1 : probabilités et variables aléatoires. (5 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, probabilités totales, variable aléatoire discrète, espérance, variance, indépendance, transformation affine, moyenne d’un échantillon et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Exercice 2 : vrai-faux, géométrie dans l’espace et dénombrement. (4 points)
Notions : droite paramétrique, équation de plan, vecteur normal, orthogonalité, milieu, droites sécantes, angle dans l’espace, produit scalaire, arrangements et combinaisons.
- Exercice 3 : équation différentielle, suites et Python. (6 points)
Notions : équation différentielle \(y'=ay+b\), fonction exponentielle, condition initiale, temps d’atteinte d’un seuil, suite récurrente, récurrence, convergence, limite, interprétation et programme Python avec boucle while.
- Exercice 4 : fonction logarithme et intégrale. (5 points)
Notions : logarithme népérien, lecture graphique, tangente, dérivée, dérivée seconde, asymptote horizontale, variations, extremum, théorème des valeurs intermédiaires, valeur approchée, primitive, intégrale et aire.
Notions détaillées du sujet
Exercice 1 — Probabilités et variables aléatoires
- Réservation d’une cabine et d’un emplacement pour véhicule.
- Arbre pondéré, probabilité d’intersection, probabilité conditionnelle et probabilités totales.
- Variable aléatoire \(X\) donnant le prix des suppléments, calcul de \(E(X)\) et \(V(X)\).
- Variable aléatoire \(Z=0,6(X+Y)\), calcul d’espérance et de variance.
- Moyenne \(M_n\) d’un échantillon, variance de \(M_n\) et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Exercice 2 — Géométrie dans l’espace et dénombrement
- Droite paramétrique, points de l’espace, plan d’équation cartésienne.
- Orthogonalité d’un plan et d’une droite, milieu d’un segment, droites sécantes.
- Angle dans l’espace à l’aide du produit scalaire.
- Comparaison de probabilités dans un problème de digicodes : code ordonné de 3 symboles et code non ordonné de 4 symboles.
Exercice 3 — Équation différentielle, suites et Python
- Modélisation d’une phase de chauffage par l’équation différentielle \(y'=-0,035y+0,91\).
- Détermination de la solution vérifiant \(T(0)=18\), temps d’atteinte de \(20^\circ\)C et limite du modèle.
- Suite récurrente modélisant le refroidissement, preuve par récurrence, convergence et limite.
- Complétion d’un programme Python de seuil pour déterminer le moment où le chauffage redémarre.
Exercice 4 — Fonction logarithme et intégrale
- Fonction \(f(x)=a+\dfrac{b\ln(x+1)}{x+1}\), lecture graphique d’une tangente et détermination de paramètres.
- Dérivée, signe de la dérivée seconde en un point, asymptote horizontale et variations.
- Résolution d’une inéquation avec logarithme.
- Existence et unicité d’une solution de \(f(x)=1,5\) sur \([2;+\infty[\).
- Calcul de \(\displaystyle \int_0^2 \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,dx\) et aire sous la courbe.
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Métropole, La Réunion, Mayotte J2
Code : 26-MATJ2ME1
Date : 17 juin 2026
♥ Sujet et corrigé Métropole 2026
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APMEP : Sujet PDF / Sujet LaTeX
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Thèmes dominants : Espace Suites Éq. diff. Python Probabilités Variables aléatoires Dénombrement Fonctions Intégrales
- Exercice 1 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : points de l’espace, vecteur normal, équation cartésienne de plan, droite orthogonale à un plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, distance point-plan, aire, volume, coplanarité et paramètre.
- Exercice 2 : suites, équation différentielle et Python. (5 points)
Notions : suite récurrente, programme Python, récurrence, convergence, limite, équation différentielle \(y'=ay+b\), fonction exponentielle, variations, seuil et interprétation d’un modèle de pollution.
- Exercice 3 : probabilités, loi binomiale et dénombrement. (4 points)
Notions : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale, espérance, variance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, échantillon de grande taille, combinaisons et constitution d’équipes.
- Exercice 4 : fonctions, primitives, intégrales et aire. (6 points)
Notions : lecture graphique, tangente, primitives, fonction avec exponentielle, limite, dérivation, variations, existence et unicité d’une solution, valeur approchée, intégration par parties, aire et volume.
Notions détaillées du sujet
Exercice 1 — Géométrie dans l’espace
- Points \(A(2;1;1)\), \(B(3;-2;0)\), \(C(0;-1;1)\) et \(D(0;0;2)\).
- Vérification que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
- Vecteur normal et équation cartésienne du plan \((ABC)\).
- Droite \(\Delta\) passant par \(D\) et orthogonale au plan \((ABC)\).
- Projeté orthogonal de \(D\) sur le plan \((ABC)\), aire du triangle \(ABC\), volume du tétraèdre \(ABCD\).
- Question avec le point \(D_k(0;0;k)\), coplanarité et projeté orthogonal.
Exercice 2 — Suites et équation différentielle
- Pollution d’un bassin de \(30\,000\) litres d’eau.
- Modèle discret : \(V_0=0\) et \(V_{n+1}=0,995V_n+6\).
- Calcul de premiers termes, programme Python, récurrence et convergence.
- Modèle continu : équation différentielle \(y'=-0,005y+6\).
- Solution avec exponentielle, limite, variations et interprétation.
- Étude de seuils et comparaison entre modèle discret et modèle continu.
Exercice 3 — Probabilités et dénombrement
- Vrai-faux sur une étude concernant les musiciens professionnels.
- Probabilités conditionnelles et formule des probabilités totales.
- Variable aléatoire suivant une loi binomiale.
- Calcul de probabilité avec calculatrice, puis utilisation de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Dénombrement d’équipes constituées de musiciens professionnels et d’autres personnes.
Exercice 4 — Fonctions, primitives et intégrales
- Lecture graphique : tangente horizontale, solution d’une équation et coefficient directeur d’une tangente.
- Identification de deux courbes représentant des primitives d’une fonction.
- Modélisation d’un logo avec une fonction du type produit d’un polynôme par une exponentielle.
- Limite en \(+\infty\), dérivée et tableau de variations.
- Existence et unicité d’une solution, valeur approchée.
- Calcul d’une intégrale par parties, aire et volume d’un objet.
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Antilles-Guyane J1
Code : 26-MATJ1AG1
Date : 16 juin 2026
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APMEP : Sujet PDF / Sujet LaTeX
♥ Corrigé à venir
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Thèmes dominants : Probabilités Variables aléatoires Éq. diff. Suites Espace Fonctions Intégrales
- Exercice 1 : probabilités et variables aléatoires. (4 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, probabilités totales, variable aléatoire discrète, espérance, variance, somme de variables aléatoires indépendantes et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Exercice 2 : équation différentielle, suites et modèle d’évolution. (6 points)
Notions : équation différentielle \(y'=ay+b\), fonction exponentielle, limite, variations, inéquation avec exponentielle, suite récurrente, récurrence, convergence, limite et suite géométrique auxiliaire.
- Exercice 3 : vrai-faux, géométrie dans l’espace. (4 points)
Notions : coordonnées dans l’espace, vecteur normal à un plan, droite paramétrique, droites sécantes, droite parallèle à un plan, équation cartésienne de plan et projeté orthogonal sur un plan.
- Exercice 4 : fonction logarithme, convexité et intégrale. (6 points)
Notions : lecture graphique, tangente, dérivée seconde, concavité, fonction logarithme \(f(x)=x\ln(2x-1)\), limite, équation, point d’inflexion, positivité, primitive, intégrale, intégration par parties, aire et généralisation.
Notions détaillées du sujet
Exercice 1 — Probabilités et variables aléatoires
- Contrôle de réacteurs nucléaires : réacteur en arrêt, au ralenti ou en fonctionnement normal.
- Arbre pondéré, probabilité d’intersection, probabilité conditionnelle et probabilités totales.
- Détermination d’une probabilité conditionnelle inconnue à partir de \(P(C)=0,35\).
- Variable aléatoire \(X\) modélisant la production journalière d’un réacteur.
- Calcul de \(E(X)=12,5\) et \(V(X)=40,75\).
- Somme \(S=X_1+\cdots+X_{12}\), espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Exercice 2 — Équation différentielle, suites et modèle médical
- Modélisation d’une quantité de médicament dans le sang.
- Équation différentielle \(y'=-\dfrac{3}{10}y+1\), solution avec condition initiale \(q(0)=1\).
- Limite, variations, seuil de toxicité et résolution d’une inéquation exponentielle.
- Suite récurrente \(u_{n+1}=0,7u_n+0,75\).
- Preuve par récurrence de l’encadrement \(u_n\leq u_{n+1}\leq 4\).
- Convergence, limite, suite auxiliaire géométrique \(v_n=u_n-2,5\) et expression explicite.
- Recherche du nombre d’injections supplémentaires pour dépasser \(2,4\) mg.
Exercice 3 — Géométrie dans l’espace
- Points \(S(-1;\sqrt2;-4)\), \(A(2;\sqrt2;-1)\), \(B(1;\sqrt2;0)\) et \(C(2;0;-1)\).
- Droite \(d\) donnée par une représentation paramétrique.
- Plan \(P\) d’équation cartésienne \(x-z+1=0\).
- Vrai-faux sur vecteur normal, droites sécantes, droite parallèle à un plan et projeté orthogonal.
Exercice 4 — Fonction logarithme, convexité et intégrale
- Lecture graphique d’une tangente en \(A(1;0)\), calcul de \(f'(1)\), concavité et valeur de \(f''(1)\).
- Étude de la fonction \(f(x)=x\ln(2x-1)\) sur \(]\dfrac12;+\infty[\).
- Limite en \(\dfrac12\), interprétation graphique, résolution de \(f(x)=0\).
- Dérivée seconde, point d’inflexion et lien avec l’axe des abscisses.
- Positivité sur \([1;2]\), calcul d’intégrale et aire avec intégration par parties.
- Généralisation avec \(f_a(x)=x\ln(ax-1)\) et alignement des points d’inflexion.
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Antilles-Guyane J2
Code : 26-MATJ2AG1
Date : 17 juin 2026
◊ Sujet PDF
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Thèmes dominants : Probabilités Variables aléatoires Suites Espace Fonctions Éq. diff. Intégrales Python Trigonométrie
- Exercice 1 : probabilités, loi binomiale et suite. (6 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, probabilités totales, loi binomiale, espérance, variance, moyenne de variables aléatoires, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, suite récurrente, récurrence, convergence et limite.
- Exercice 2 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : tétraèdre, aire d’un triangle, plan, projeté orthogonal, volume, vecteur normal, équation cartésienne de plan, droite orthogonale à un plan, représentation paramétrique, intersection droite-plan et angle dans l’espace.
- Exercice 3 : vrai-faux, équations différentielles et fonctions trigonométriques. (4 points)
Notions : équation différentielle, exponentielle, convexité, tangentes, fonction trigonométrique, asymptote horizontale et vérification d’une solution d’équation différentielle.
- Exercice 4 : fonction logarithme, primitives, intégrales et Python. (5 points)
Notions : fonction logarithme, lecture graphique, primitive, variations d’une primitive, dérivée, dérivée seconde, point d’inflexion, convexité, asymptote, maximum, Python, primitive explicite et valeur moyenne d’une fonction.
Notions détaillées du sujet
Exercice 1 — Probabilités, loi binomiale et suite
- Réseau de communication constitué d’une chaîne de relais transmettant des messages.
- Arbre pondéré avec les événements \(A_1\) et \(A_2\), probabilités conditionnelles et calcul de \(P(A_2)=0,9164\).
- Calcul de \(P_{A_2}(A_1)\) et interprétation dans le contexte d’un message reçu sans erreur.
- Variable aléatoire \(X\) suivant la loi binomiale de paramètres \(n=50\) et \(p=0,04\).
- Probabilité d’obtenir exactement 4 tests positifs, puis au moins un test positif.
- Calcul de l’espérance et de la variance de \(X\).
- Moyenne \(M=\dfrac{X_1+\cdots+X_{25}}{25}\), espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Suite \((p_n)\) définie par \(p_1=0,96\) et \(p_{n+1}=0,59p_n+0,35\).
- Preuve par récurrence de la décroissance, convergence et valeur exacte de la limite.
Exercice 2 — Géométrie dans l’espace
- Module d’escalade modélisé par le tétraèdre \(ABCD\).
- Points \(B\left(\dfrac92;0;0\right)\), \(C\left(\dfrac94;3;0\right)\) et \(D\left(\dfrac32;1;3\right)\) dans un repère orthonormé d’origine \(A\).
- Triangle \(ABC\), hauteur issue de \(C\), triangle isocèle et aire égale à \(6,75\) m².
- Plan \((ABC)\) d’équation \(z=0\) et projeté orthogonal \(H\left(\dfrac32;1;0\right)\) de \(D\) sur ce plan.
- Calcul du volume du tétraèdre à partir de l’aire de la base et de la hauteur.
- Vecteur normal au plan \((BCD)\), équation cartésienne \(4x+3y+3z-18=0\).
- Droite \(\Delta\) orthogonale au plan \((BCD)\) passant par \(D\), représentation paramétrique et intersection avec le plan \((ABC)\).
- Point \(L\left(-\dfrac52;-2;0\right)\) et vérification d’une condition d’angle pour l’adaptation du module aux débutants.
Exercice 3 — Vrai-faux : équations différentielles et fonctions
- Équation différentielle \(y'+2y=0\), solution vérifiant \(f(0)=1\) et point de coordonnées \((\ln 2;\dfrac12)\).
- Fonction \(f(x)=x-\cos(x)\) sur \(\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\) et position de la courbe par rapport à ses tangentes.
- Fonction \(f(x)=1+\dfrac{\sin(x)}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) et asymptote horizontale.
- Équation différentielle \(y'-3y=2-6x\) et vérification d’une fonction candidate \(f(x)=2x-e^{3x}\).
Exercice 4 — Fonction logarithme, primitives, intégrales et Python
- Famille de fonctions \(f_k(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}\), définies sur \(]0;+\infty[\).
- Étude graphique du cas \(k=2\) : primitive, variations, dérivée première, dérivée seconde, point d’inflexion et tangente.
- Étude du cas \(k=1\) : dérivée \(f_1'(x)=-1-\dfrac{\ln x}{x^2}\), limite en \(+\infty\), dérivée seconde et tableau de variations.
- Existence et unicité d’une solution \(\alpha\) de l’équation \(f_1'(x)=0\), puis maximum de \(f_1\).
- Programme Python à compléter pour obtenir une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
- Primitive de la fonction \(h(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\) et étude d’une valeur moyenne sur l’intervalle \([1;e]\).
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Polynésie française J1
Code : 26MATJ1PO1
Date : 16 juin 2026
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Thèmes dominants : Probabilités Dénombrement Fonctions Éq. diff. Python Suites Espace Intégrales
- Exercice 1 : probabilités et dénombrement. (5 points)
Notions : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, probabilités totales, interprétation d’une probabilité, combinaisons, tirage simultané de deux boules, inéquation et recherche de valeurs entières.
- Exercice 2 : vrai-faux, analyse, équation différentielle et Python. (5 points)
Notions : limite avec exponentielle, convexité, intégration par parties, équation différentielle \(y'=2y-5\), solution vérifiant une condition initiale et fonction Python calculant une factorielle.
- Exercice 3 : suite récurrente, logarithme et recherche de limite. (5 points)
Notions : fonction logarithme, suite définie par récurrence, calcul de premier terme, conjecture graphique, preuve par récurrence, convergence, fonction auxiliaire, dérivée, variations, théorème des valeurs intermédiaires et valeur approchée d’une limite.
- Exercice 4 : géométrie dans l’espace. (5 points)
Notions : points de l’espace, plan, vecteur normal, équation cartésienne de plan, droite orthogonale à un plan, représentation paramétrique, intersection droite-plan, distance point-plan, projeté orthogonal sur une droite, aire et volume d’un tétraèdre.
Notions détaillées du sujet
Exercice 1 — Probabilités et dénombrement
- Stock de planches de surf : planches en mousse et planches en résine.
- Évènements \(M\), \(B\), \(R\) et \(C\) : mousse, bon état, recyclage et consolidation.
- Arbre pondéré à compléter avec les données de l’énoncé.
- Interprétation de \(P(\overline M\cap R)=0,05\).
- Calcul d’une probabilité conditionnelle concernant une planche en résine consolidée.
- Vérification de l’affirmation : au moins \(\dfrac34\) des planches sont en bon état.
- Jeu avec une urne contenant 5 boules noires et \(n\) boules rouges.
- Tirage simultané de deux boules et calcul d’une probabilité avec combinaisons.
- Transformation de l’expression de \(p\) et recherche des entiers \(n\) tels que \(p<\dfrac12\).
Exercice 2 — Vrai-faux : analyse, équation différentielle et Python
- Limite en \(+\infty\) de \(f(x)=(x+1)e^{-x}\).
- Convexité de la fonction \(g(x)=xe^x\) sur un intervalle.
- Calcul de \(\displaystyle \int_0^\pi x\sin(x)\,dx\) par intégration par parties.
- Équation différentielle \(y'=2y-5\) et vérification d’une solution avec condition initiale.
- Fonction Python
mystere utilisant une boucle for et renvoyant \(5!\) pour mystere(5).
Exercice 3 — Suite récurrente et limite
- Fonction \(f(x)=\ln(3x^2+1)\) sur \([0;+\infty[\).
- Suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\ln(3u_n^2+1)\).
- Calcul de \(u_1\) et conjectures graphiques sur la monotonie et la convergence.
- Preuve par récurrence de l’encadrement \(2\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4\).
- Convergence de la suite par monotonie et majoration.
- Fonction auxiliaire \(g(x)=\ln(3x^2+1)-x\).
- Calcul de \(g'(x)\), variations de \(g\) sur \([2;4]\), existence et unicité de \(\alpha\) tel que \(g(\alpha)=0\).
- Justification que la limite \(\ell\) de la suite est égale à \(\alpha\).
Exercice 4 — Géométrie dans l’espace
- Points \(A(1;2;-1)\), \(B(0;3;2)\), \(C(-2;4;0)\) et \(D(8;2;-11)\).
- Démonstration que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
- Vecteur normal au plan \((ABC)\) et équation cartésienne \(5x+8y-z-22=0\).
- Vérification que \(D\) n’appartient pas au plan \((ABC)\).
- Droite \(\Delta\), orthogonale au plan \((ABC)\) et passant par \(D\), donnée par une représentation paramétrique.
- Recherche du point \(E\), intersection de \(\Delta\) et du plan \((ABC)\).
- Calcul exact de la distance \(DE\), distance du point \(D\) au plan \((ABC)\).
- Utilisation d’un logiciel de calcul formel pour montrer que \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \((BC)\).
- Calcul du volume du tétraèdre \(ABCD\).
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Polynésie française J2
Code : 26MATJ2PO1
Date : 17 juin 2026
APMEP : Sujet PDF / Sujet LaTeX
♥ Corrigé à venir
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À venir. |
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Sessions de remplacement 2026
Codes : à venir
Date : septembre à novembre 2026, selon centres
Sujets : à venir
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Corrigés : à venir
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Métropole septembre, Polynésie septembre, Amérique du Sud novembre et Nouvelle-Calédonie novembre : à compléter. |
