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Une Histoire de la notion de Fonction

Définition moderne :
En mathématiques, une fonction est une relation entre un ensemble d'entrées et un ensemble de sorties autorisées avec la propriété que chaque entrée est reliée à une sortie exactement.
Une fonction est donc une relation qui, à un élément donné, en associe un autre UNIQUE.
Remarque : Nous verrons qu'il existe aussi des fonctions multivoques comme le logarithme négatif. Ces fonctions associent, à un élément, plusieurs autres éléments.

On note généralement :

$x$ : élément de départ.
$f(x)$ : élément associé à x qui l'on lit "f de x",
$f(x)$ est l'image de $x$ par $f$.
la fonction associée f se note par une flèche : $x \longmapsto f(x)$

Résumé historique. [Gour1] p67

Jusqu'au 17ème siècle, la notion de fonction n'est pas définie avec rigueur, le concept reste assez vague.
Le terme de fonction a été introduit par le mathématicien allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716) dans un cadre géométrique. Il désigne par ce terme des grandeurs géométriques dépendant d'autres grandeurs géométriques.
Puis BERNOULLI Jean (1667-1748) propose la notation : Φx
Le mathématicien allemand DIRICHLET Gustav Peter Lejeune (1805-1859), en introduisant la fonction discontinue partout, caractéristique des irrationnels (qui prend la valeur 0 si x est rationnel et 1 sinon), définit explicitement la fonction comme nous la définissons aujourd'hui.
Cependant, l'idée de relation entre les quantités, prend naissance avec les mathématiques elles-mêmes et donc chez les mathématiciens babyloniens et grecs.

L'histoire de cette notion centrale est riche et passionnante, laissons-nous porter...

Histoire de la notion de fonction

I. La notion de fonction dans l'Antiquité.

1. Les Babyloniens

Les mathématiciens babyloniens appartiennent à un ensemble de peuples ayant vécu en Mésopotamie entre 5 000 av. J.-C. et le début de l'ère chrétienne. Ils nous ont laissé des traces de leurs recherches par l'intermédiaire de tablettes d'argiles en écriture cunéiforme qui, pour 300 d'entre elles découvertes à ce jour, traitent de mathématiques.

Sur ces tablettes, dont les plus anciennes datent de la première dynastie (vers - 1 800), on trouve des tables sexagésimales de réciproques, de carrés, de cubes, de racines cubiques...
La multiplication est effectuée par exemple en se référant à des tables de multiplication, établies certainement par additions successives. L'utilisation de tables de réciproques permet alors de remplacer les divisions par des multiplications.

Les babyloniens, réputés pour leurs remarquables aptitudes en astronomie, utilisaient ces tables pour calculer les éphémérides du soleil, de la lune. [DaDaPe] page 12, p 208

2. Les grecs

En acoustique, les mathématiciens de la fraternité pythagoricienne au 6ème siècle av. J.-C., recherchèrent des relations entre la hauteur des sons émis par des cordes pincées et la longueur de ces cordes.

En astronomie, les mathématiciens grecs d'Alexandrie dressent des tables donnant la longueurs des cordes de cercles de rayon fixé, ces sont les fameuses premières tables de sinus que l'on peut observer dans l'Almageste de PTOLÉMÉE Claude (2ème siècle).
Ces tables sont visibles sur le site gallica de la BNF.

Source : gallica.bnf.fr

Cependant, comme le font fort justement remarquer A. Dahan et J. Peiffer dans [DaDaPe], il serait trop simpliste de voir en ces tables de Ptolémée, les premières fonctions. Elles n'en sont que le germe et ne sont considérées que comme des tableaux de valeurs numériques utiles pour les calculs. On ne considère jamais l'entité qui permet de passer d'une colonne de nombres à l'autre.
Ainsi, même si l'on considère une fonction comme une relation entre des valeurs comme dans la définition moderne, le tables de Ptolémée ne sont que des relations entre éléments discrets constants d'ensembles finis.
Il n'est absolument pas question de quantités variables ni de lois de variations

II. La notion de fonction : Les Ecoles d'Oxford et de Paris, 14ème siècle

La cinématique, c'est à dire l'étude des mouvements de solides, est le grand sujet d'étude des écoles de philosophie naturelle d'Oxford et de Paris au 14ème siècle.

Les mathématiciens de ces écoles dont le français ORESME Nicolas (Oresme, près de Bayeux 1325 - Lisieux 1382) et les anglais BACON Roger (1214 - 1294) ou BRADWARDINE Thomas (1290 - 1349) proposent de modéliser les phénomènes physiques et mettent en évidences des relations entre vitesse, force, temps et résistance, tout cela, de façon géométrique bien sûr.

Ils quantifient des phénomènes comme la vitesse, la chaleur, la densité et leurs prêtant des qualités pouvant varier de façon continue.
Des fonctions du temps apparaissent et ORESME Nicolas (1325 - 1382) écrira :

"Chaque chose mesurable, à l'exception des nombres, est imaginée comme une quantité continue."
ORESME Nicolas (1325-1382)

III. Étude des trajectoires, 17ème siècle

Avec le français VIÈTE François (1540-1603) qui introduit de façon systématique le calcul littéral (voir histoire du symbolisme algébrique), vient le temps des formules.

La notion de fonction, qui était alors uniquement associée à une courbe, va maintenant être lié à une formule comme le met en évidence la célèbre formule de GALILEE en 1623 qui propose ses lois sur la chute des corps :

Le grand livre de l'univers est écrit en langage mathématique.
GALILEE en 1623

Au début du 17ème siècle, le physicien et mathématicien allemand Johannes KEPLER (1571 – 1630), énonce ses lois sur les trajectoires elliptiques des planètes.
Toutes les fonctions introduites à cette période sont considérées comme des trajectoires de points en mouvement.

IV . 1ère définition de fonction : Courbes géométriques et transcendantes

Le mathématiciens français DESCARTES René du Perron (1596-1650) propose d'établir une classification des courbes :

Les courbes géométriques : Les coordonnées x et y sont reliées par une équation polynômiale.
Les courbes mécaniques ou transcendantes : comme le logarithme, DESCARTES les rejette.

Pour lui, selon le philosophe Jules VUILLEMIN (1920-2001), une fonction est donc :

"Est fonctionnelle pour DESCARTES, une relation qui permet de faire correspondre à une longueur donnée, une autre longueur déduite de la première par un nombre fini d'opérations algébriques".
Jules VUILLEMIN (1920-2001)

L'essentiel ici est de noter que désormais une fonction est associée et même définie par une équation. Bien sûr le problème des courbes transcendantes subsiste, mais, plus pour longtemps !

V . 2ème définition de fonction : GREGORY James, 1667

Les mathématiciens qui succèdent à DESCARTES découvrent alors le développement des fonctions en séries infinies de puissances.

Le mathématicien allemand MERCATOR Nicolaus (1620 Eutin -1687 Versailles) est le premier avec NEWTON, à proposer une technique fine permettant de développer des fonctions en séries.
En 1668, dans Logarithmotecnia, il trouve l'aire de l'hyperbole en développant en série géométrique 1/(1+x) puis, en intégrant terme à terme comme l'anglais WALLIS John (1616-1703), il obtient le développement de la série qui porte son nom mais qui fut obtenue par Sir Isaac Newton (1643 – 1727) en 1665. [Dieudo] p 123

La série de Mercator est définie par :

$$ln (1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^4}{4} \cdots $$

C'est le mathématicien écossais James GREGORY (1638 – 1675) qui propose la meilleure définition de la notion de fonction au 17ème siècle.

Une fonction est définie comme une quantité obtenue à partir d'autres quantités par une succession d'opérations algébriques ou par n'importe quelle opération imaginable.
Dans Vera circuli et hyperbolae quadratura, 1667.

Il précise qu'aux cinq opérations de l'algèbre (addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racine), il faut en ajouter une sixième définie comme un passage à la limite.

VI. Le terme fonction apparaît : LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716)

Le terme de fonction a été introduit par le mathématicien allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716) en 1673 dans un manuscrit inédit "La Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions".

"J'appelle fonctions toutes les portions des lignes droites qu'on fait en menant des droites indéfinies qui répondent au point fixe et aux points de la courbe; comme sont les abscisse, ordonnée, corde, tangente, perpendiculaire, sous-tangente ...et une infinité d'autres d'une construction plus composée, qu'on ne peut figurer."
LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716), in La Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions, 1673.

Cette définition se retrouve dans des articles de 1692 et 1694 et est reprise par le mathématicien suisse BERNOULLI Johann francisé Jean (1667-1748) en 1697.

BERNOULLI Jean (1667-1748) en 1718 propose la définition suivante :
"On appelle fonction d'une grandeur variable une quantité composée, de quelque manière que ce soit, de cette grandeur variable et de constante."
Il propose la notation : $\Phi x$.

VII. La controverse des Logarithmes négatifs. [DaDaPe]

Le logarithme est la première fonction transcendante c'est à dire qu'elle ne peut pas être obtenue par opérations algébriques.

Elle fut découverte par l'allemand STIFEL Michael (1487-1567), puis développée par l'écossais NAPPIER ou NEPER John (1550-1617) qui publie un manuscrit sur le sujet en 1614 puis 1619.

Le problème que se posent BERNOULLI Jean (1667-1748) et LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716), est la définition de ln(-1) et ln(i).
BERNOULLI considère que ces logarithmes étaient imaginaires et LEIBNIZ affirme que $ln(-1) = 0$.

C'est le mathématicien suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) qui, en 1749, montre qu'il faut accepter le caractère multivoque du logarithme.
Ainsi par exemple :

Pour $z$ complexe et $k$ relatif :

$$ln z = ln r + it + 2kπ i ~~\begin{cases} ln i = i \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi i \\ ln (-1) = i\pi + 2k\pi i\end{cases}$$

VIII. La classification des fonctions par EULER Leonhard (1707 - 1783)

Le mathématicien suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) propose une 3ème définition pour la notion de fonction.

"Une fonction est une expression analytique composé d'une manière quelconque de cette quantité variable et de nombres ou de quantités constantes."
Dans Introductio in analysin infinitorum, Marcum-Michaelem Bousquet & socios, 1748.

Le mot analytique n'est pas précisé et pour EULER, une fonction est obtenue par une combinaison d'opérations et de modes de calculs connus de son époque et applicables aux nombres.

EULER fournit alors une classification des fonctions qu'il classe ainsi :

Fonctions Algébriques: Obtenues par opérations algébriques (au sens large).
1. Rationnelles : (4 opérations)
2. Irrationnelles (4 opérations + extraction des racines)
Fonctions transcendantes : trigonométriques, ln, exp, intégrales, puissances irrat.
Obtenues par des opérations répétées à l'infini.

Cette classification ne permet pas de classifier les fonctions transcendantes avec rigueur. Il considère simplement qu'elles sont obtenues par une répétition infinie d'opérations.
L'étude du développement des fonctions en séries infinies va mettre en défaut cette classification.
Comme le souligne DIEUDONNÉ Jean (Lille 1906 - Paris 1992) dans [Dieudo]p257, les illustres mathématiciens de l'époque (comme Gauss) pensent que toute fonction est développable en série entière (sauf en des points isolés).

Puis, le mathématicien CAUCHY Augustin-Louis (1789-1857) donne dans son Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (source : gallica.bnf.fr) son fameux contre-exemple, pour montrer que si la série de Taylor d'une fonction f converge au point x, elle n'est pas nécessairement égale à $f(x)$.

$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}~~\text{si}~~x\neq 0\\0~~\text{sinon} \end{cases}$$

Cette fonction a toutes ses dérivées nulles en zéro et la série de Taylor, qui fait intervenir des zéros est identiquement nulle alors que $f$ ne l'est pas.

Les définitions précédentes de la notion de fonction ne sont pas assez générales, un changement de vue s'impose alors.

IX. La notion la plus générale d'une fonction

Le mathématicien allemand DIRICHLET Gustav Peter Lejeune (1805-1859), donne l'exemple, d'une nature nouvelle, d'une fonction discontinue en tous ses points.
Cette fonction est nommée fonction caractéristique des irrationnels. Elle prend la valeur 0 si x est rationnel et 1 sinon.

Ainsi, après FOURIER, CAUCHY, DIRICHLET, RIEMANN, on peut dire que la notion générale d'une fonction (univoque) conçue comme une correspondance arbitraire entre deux nombres est née. [DaDaPe] p229,230

Bibliographie.

[DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986. (p208, p12)
[Dieudo] : Jean DIEUDONNÉ, Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann Editeurs, Paris, nouvelle édition 1986. (p123)
[Gour1] : Xavier Gourdon, Les maths en tête - Analyse-, Ellipse, Paris, 1994.
[Universalis] : Dictionnaire des mathématiques, Encyclopédia Universalis, Albin michel - Paris, 1997. (p358)

Histoire de la notion de Fonction.