Spécialité Mathématiques au Lycée

Algèbre

• Suites numériques, modèles discrets
• Équations, fonctions polynômes du second degré

Analyse

• Dérivation
• Variations et courbes représentatives des fonctions
• Fonction exponentielle
• Fonctions trigonométriques

Géométrie

• Calcul vectoriel et produit scalaire
• Géométrie repérée

Probabilités et statistiques

• Probabilités conditionnelles et indépendance
• Variables aléatoires réelles

Algorithmique et programmation

• Notion de liste

Algèbre et géométrie

• Combinatoire et dénombrement
• Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace
• Orthogonalité et distances dans l’espace
• Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Analyse

• Suites
• Limites des fonctions
• Compléments sur la dérivation
• Continuité des fonctions d’une variable réelle
• Fonction logarithme
• Fonctions sinus et cosinus – Thème non évaluable en épreuve finale
• Primitives, équations différentielles - Thème seulement partiellement évalé en épreuve finale
• Calcul intégral (avec intégration par partie) – Thème non évaluable en épreuve finale
  

Probabilités

• Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
• Sommes de variables aléatoires
• Concentration, loi des grands nombres – Thème non évaluable en épreuve finale

Algorithmes et programmation

La spécialité peut s’additionner avec l’option mathématiques expertes

Nombres complexes

• Équations polynomiales
• Nombres complexes et trigonométrie
  • Formules d’addition et de duplication à partir du produit scalaire.
  • Exponentielle imaginaire, notation \(e^{i\theta}\). Relation fonctionnelle. Forme exponentielle d’un nombre complexe.
  • Formules d'Euler
  • Formule de Moivre
• Nombres complexes : point de vue géométrique
  • Image d’un nombre complexe. Image du conjugué. Affixe d’un point, d’un vecteur.
  • Module d’un nombre complexe. Interprétation géométrique.
  • Relation \(|z|^2 = z.\overline{z}\) . Module d’un produit, d’un inverse.
  • Ensemble 𝕌 des nombres complexes de module 1. Stabilité de 𝕌 par produit et Passage à l’inverse.
  • Arguments d’un nombre complexe non nul. Interprétation géométrique.
  • Forme trigonométrique.
• Nombres complexes : point de vue algébrique
  • Ensemble ℂ des nombres complexes. Partie réelle et partie imaginaire. Opérations.
  • Conjugaison. Propriétés algébriques. Inverse d’un nombre complexe non nul.
  • Formule du binôme dans ℂ.
  • Solutions complexes d’une équation du second degré à coefficients réels.
  • Factorisation de zⁿ - aⁿ par z - a.
  • Si P est un polynôme et P(a) = 0, factorisation de P par z - a.
  • Un polynôme de degré n admet au plus n racines.
  • Résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est connue.
  • Factoriser un polynôme dont une racine est connue
• Utilisation des nombres complexes en géométrie
  • Interprétation géométrique du module et d’un argument de . (c-a)/(b-a)
  • Racines n-ièmes de l’unité. Description de l’ensemble 𝕌n des r
  • Application aux polygones réguliers

Arithmétique

• Divisibilité dans ℤ. Division euclidienne d'un élément de ℤ par un élément de ℕ*.
• Congruences dans ℤ. Compatibilité des congruences avec les opérations.
• PGCD de deux entiers. Algorithme d’Euclide.
• Couples d’entiers premiers entre eux. Théorème de Bézout. Théorème de Gauss.
• Nombres premiers. Leur ensemble est infini.
• Existence et unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
• Petit théorème de Fermat.

Graphes et matrices

• Graphe, sommets, arêtes. Exemple du graphe complet.
• Sommets adjacents, degré, ordre d’un graphe, chaîne, longueur d’une chaîne, graphe connexe.
• Notion de matrice (tableau de nombres réels). Matrice carrée, matrice colonne, matrice ligne. Opérations. Inverse, puissances d’une matrice carrée.
• Exemples de représentations matricielles : matrice d’adjacence d’un graphe ; transformations géométriques du plan ; systèmes linéaires ; suites récurrentes.
• Exemples de calcul de puissances de matrices carrées d’ordre 2 ou 3.
• Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant une relation de récurrence du type Un+1 = AUn + C.
• Graphe orienté pondéré associé à une chaîne de Markov à deux ou trois états.
• Chaîne de Markov à deux ou trois états. Distribution initiale, représentée par une matrice ligne π_0. Matrice de transition, graphe pondéré associé.
• Pour une chaîne de Markov à deux ou trois états de matrice P, interprétation du coefficient (i,j) de P^n. Distribution après n transitions.
• Distributions invariantes d’une chaîne de Markov à deux ou trois états.

Analyse

• Suites numériques, modèles discrets, limites
• Fonctions : continuité, dérivabilité, limites, représentation graphique
• Notion de limite. Lien avec la continuité et les asymptotes horizontales ou verticales. Limites des fonctions de référence (carré, cube, racine carrée, inverse, exponentielle, logarithme).
• Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Cas des fonctions strictement monotones.
• Réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle, représentation graphique.
• Fonction dérivée de x↦ƒ(a x + b), x ↦ e^(u(x)), x ↦ ln u(x), x ↦ u(x)².
• Fonctions convexes
  • Dérivée seconde d’une fonction.
  • Fonction convexe sur un intervalle : position par rapport aux tangentes.
  • Caractérisation admise par la croissance de ƒ’, la positivité de ƒ’’.
  • Point d’inflexion.
• Fonction logarithme népérien : Comme réciproque de la fonction exponentielle. Limites, représentation graphique. Équation fonctionnelle. Fonction dérivée.
• Primitives et équations différentielles
  • Sur des exemples, notion d’une solution d’équation différentielle.
  • Notion de primitive, en liaison avec l’équation différentielle y’ = ƒ. Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante. Exemples.
  • Équation différentielle y’ = a y + b, où a et b sont des réels ; allure des courbes.
• Intégration
  • Définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a,b] comme aire sous la courbe. Notation ∫ƒ(x)dx.
  • Relation de Chasles. Valeur moyenne
  • Approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles.
  • Présentation de l’intégrale des fonctions continues de signe quelconque.
  • Calcul d’intégrales à l’aide de primitives : si F est une primitive de ƒ, alors ∫ƒ(x)dx = F(b) - F(a).

Probabilités

• Lois discrètes
  • Loi uniforme sur {1,2,…,n}. Espérance.
  • Épreuve de Bernoulli. Loi de Bernoulli : définition, espérance et écart type.
  • Schéma de Bernoulli. Représentation par un arbre.
  • Coefficients binomiaux : définition (nombre de façons d’obtenir k succès dans un schéma de Bernoulli de taille n), triangle de Pascal, symétrie.
  • Variable aléatoire suivant une loi binomiale ℬ(n,p). Interprétation : nombre de succès dans le schéma de Bernoulli. Expression, espérance et écart type (admis). Représentation graphique.
  • Loi géométrique : définition, expression, espérance (admise), représentation graphique et propriété caractéristique (loi sans mémoire).
• Lois à densité
  • Notion de loi à densité
  • Espérance et variance d’une loi à densité, expressions sous forme d’intégrales.
  • Loi uniforme sur [0,1] puis sur [a,b].
  • Espérance et variance.
  • Loi exponentielle.

Statistique à deux variables quantitatives

• Nuage de points. Point moyen.
• Ajustement affine. Droite des moindres carrés. Coefficient de corrélation.
• Ajustement se ramenant par changement de variable à un ajustement affine.