Algorithmique au Lycée : programme, attente et activités

Le nouveau programme de mathématiques (à partir de la rentrée 2019) propose différentes activités en algorithmique.

Les programmes : académie de Paris, espace Mathématiques.
Aide : produire des documents intégrant du code Python.

Les supports de math93.com

Le site www.math93.com proposent de nombreuses ressources pour produire des activités sous Python liées au programme de mathématiques.
Les thèmes imposés par le programme sont ci-dessous listés.

Python l'essentiel : débuter en Python, l'essentiel.
Activités liées au programme de mlathématiques
1. Les activités algorithmiques de seconde : math93.com
2. Les activités algorithmiques de première : math93.com
3. Les activités algorithmiques de terminale : math93.com
installer Python au lycée : Python.
Installation sur poste ou en ligne, premiers pas avec des TD corrigés et fiches d'aide.

1. Activités de seconde

Programme de seconde en algorithmique (lien)

Utiliser les variables et les instructions élémentaires

Contenus
- Variables informatiques de type entier, booléen, flottant, chaîne de caractères.
- Affectation (notée ← en langage naturel).
- Séquence d’instructions.
- Instruction conditionnelle.
- Boucle bornée (for), boucle non bornée (while).
Capacités attendues
- Choisir ou déterminer le type d’une variable (entier, flottant ou chaîne de caractères).
- Concevoir et écrire une instruction d’affectation, une séquence d’instructions, une instruction conditionnelle.
- Écrire une formule permettant un calcul combinant des variables.
- Programmer, dans des cas simples, une boucle bornée, une boucle non bornée.
- Dans des cas plus complexes : lire, comprendre, modifier ou compléter un algorithme ou un programme.

Notion de fonction

Contenus
- Fonctions à un ou plusieurs arguments.
- Fonction renvoyant un nombre aléatoire. Série statistique obtenue par la répétition de l’appel d’une telle fonction.
Capacités attendues
- Écrire des fonctions simples ; lire, comprendre, modifier, compléter des fonctions plus complexes. Appeler une fonction.
- Lire et comprendre une fonction renvoyant une moyenne, un écart type. Aucune connaissance sur les listes n’est exigée.
- Écrire des fonctions renvoyant le résultat numérique d’une expérience aléatoire, d’une répétition d’expériences aléatoires indépendantes.

Exemples d'algorithmes figurant dans le programme officiel

Déterminer par balayage un encadrement de \(\sqrt{2}\) d’amplitude inférieure ou égale à \(10^{-n}\) .

Arithmétique
Déterminer si un entier naturel a est multiple d’un entier naturel b.
Pour des entiers a et b donnés, déterminer le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.
Déterminer si un entier naturel est premier.
Déterminer la première puissance d’un nombre positif donné supérieure ou inférieure à une valeur donnée.

Géométrie
Étudier l’alignement de trois points dans le plan.
Déterminer une équation de droite passant par deux points donnés.

Fonctions
Pour une fonction dont le tableau de variations est donné, algorithmes d’approximation numérique d’un extremum (balayage, dichotomie).
Algorithme de calcul approché de longueur d’une portion de courbe représentative de fonction.

Statistiques
En liaison avec la partie « Algorithmique et programmation », on définit la notion d’échantillon. L’objectif est de faire percevoir, sous une forme expérimentale, la loi des grands nombres, la fluctuation d’échantillonnage et le principe de l’estimation d’une probabilité par une fréquence observée sur un échantillon. Échantillon aléatoire de taille n pour une expérience à deux issues. Version vulgarisée de la loi des grands nombres : « Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. » Principe de l’estimation d’une probabilité, ou d’une proportion dans une population, par une fréquence observée sur un échantillon.
Lire et comprendre une fonction Python renvoyant le nombre ou la fréquence de succès dans un échantillon de taille n pour une expérience aléatoire à deux issues.
Observer la loi des grands nombres à l’aide d’une simulation sur Python ou tableur.
Simuler N échantillons de taille n d’une expérience aléatoire à deux issues.
Si p est laprobabilité d’une issue et ƒ sa fréquence observée dans un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre p et ƒ est inférieur ou égal à \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) .

Les activités algorithmiques de seconde : math93.com

2. Activités de première

Programme de première en algorithmique (lien)

Notion de liste
La génération des listes en compréhension et en extension est mise en lien avec la notion d’ensemble. Les conditions apparaissant dans les listes définies en compréhension permettent de travailler la logique. Afin d’éviter des confusions, on se limite aux listes sans présenter d’autres types de collections.

Capacités attendues

Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension).
Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer…) et leurs indices.
Parcourir une liste.
Itérer sur les éléments d’une liste.

Exemples d'algorithmes figurant dans le programme officiel

Suites
Calcul de termes d’une suite, de sommes de termes, de seuil.
Calcul de factorielle.
Liste des premiers termes d’une suite : suites de Syracuse, suite de Fibonacci.

Analyse
Écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.
Méthode de Newton, en se limitant à des cas favorables.
Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler. Détermination d’une valeur approchée de e à l’aide de la suite \(\left(1+\dfrac1n\right)^{n}\).

Trigonométrie
Approximation de π par la méthode d’Archimède.

Probabilités et statistiques
Méthode de Monte-Carlo : estimation de l’aire sous la parabole, estimation du nombre π.
Algorithme renvoyant l’espérance, la variance ou l‘écart type d’une variable aléatoire.
Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné, en français, en anglais : TD algorithmique

Expérimentations.
Le travail expérimental de simulation d’échantillons prolonge celui entrepris en seconde. L’objectif est de faire percevoir le principe de l’estimation de l’espérance d’une variable aléatoire, ou de la moyenne d’une variable statistique dans une population, par une moyenne observée sur un échantillon.
Simuler une variable aléatoire avec Python.
Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire
Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille n d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire.
Simuler, avec Python ou un tableur, N échantillons de taille n d’une variable aléatoire, d’espérance μ et d’écart type σ. Si m désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre m et μ est inférieur ou égal à 2σ / n .

Les activités algorithmiques de première : math93.com

3. Activités de terminale

Programme de terminale en algorithmique (lien)

Programme identique à celui de première

Capacités attendues

Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension).
Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer…) et leurs indices.
Parcourir une liste.
Itérer sur les éléments d’une liste.

Exemples d'algorithmes figurant dans le programme officiel

Combinatoire et dénombrement

Pour un entier n donné, génération de la liste des coefficients binomiaux \( \begin{pmatrix}{n}\\{k}\end{pmatrix}\) à l’aide de la relation de Pascal.
Génération des permutations d'un ensemble fini, ou tirage aléatoire d'une permutation.
Génération des parties à 2, 3 éléments d'un ensemble fini.

Suites
Recherche de seuils.
Recherche de valeurs approchées de π, e, \(\sqrt{2}\), \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) , ln 2, etc.

Continuité des fonctions d’une variable réelle
Méthode de dichotomie.
Méthode de Newton, méthode de la sécante.

Fonction logarithme
Algorithme de Briggs pour le calcul du logarithme.

Primitives, équations différentielles
Résolution par la méthode d’Euler de \(y’ = ƒ\), de \(y’ = ay + b\).

Calcul intégral
Méthodes des rectangles, des milieux, des trapèzes.
Méthode de Monte-Carlo.
Algorithme de Brouncker pour le calcul de ln(2).

Probabilités
Simulation de la planche de Galton.
Problème de la surréservation.
Étant donné une variable aléatoire binomiale X et un réel strictement positif α, détermination du plus petit entier k tel que P(X > k) ⩽ α.
Simulation d’un échantillon d’une variable aléatoire.

Concentration et loi des grands nombres
Calculer la probabilité de (│Sn - pn│ > n), où Sn est une variable aléatoire qui suit
une loi binomiale ℬ(n,p). Comparer avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Simulation d’une marche aléatoire.
Simuler N échantillons de taille n d’une variable aléatoire d’espérance \(\mu\) et d’écart type \(\sigma\) .
Calculer l’écart type s de la série des moyennes des échantillons observés, à comparer à \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) .
Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l’écart entre la moyenne et \(\mu\) est inférieur ou égal à ks, ou à \(\dfrac{k\sigma}{\sqrt{n}}\) , pour \(k = 1, 2, 3\).

Les activités algorithmiques de terminale : math93.com