Théorème de raréfaction de Legendre (1752-1833)
Théorème
L'ensemble des nombres premiers admet une densité limite nule.
Ce qui en d'autres termes signifie que, en notant π(m), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à m, le rapport π(m)/m tend vers 0 quand m tend vers l'infini.
$$\lim_{m\longrightarrow +\infty}\dfrac{\pi(m)}{m} =0$$
Histoire
Ce théorème est démontré par le mathématicien français Adrien-Marie Legendre (1752-1833) en 1808.
En 1797 ou 1798, il conjecture que π(m) est approchée par la fonction définie par A / (A log (m) + B), où A et B sont des constantes non précisées.
Dans la deuxième édition de son livre sur la théorie des nombres (1808), il affine sa conjecture en précisant que : A = 1 et B = -1,08366.
Sa conjecture de l'équivalence entre π(x) et x/ ln(x) reste empirique et il faut attendre J. Hadamard et C.J. de La Vallée-Poussin en 1896 pour en obtenir la première démonstration de ce que l'on nomme le théorème des nombres premiers.
Le théorème de raréfaction de Legendre en est alors une conséquence.
Références: [Delah1]p199 et [KoMe] p 95
- [Delah1] : Jean-Paul DELAHAYE, Merveilleux nombres premiers, Belin - Pour la science, Paris, 2000.
- [KoMe] : J-M. De Koninck et A. Mercier, Introduction à la théorie des nombres, Modulo Editeur, Mont-Royal (Québec), 1994.
