Théorème de Brun (1885 - 1978)
Théorème
Soit P l'ensemble des nombres premiers jumeaux, c'est à dire des nombres entiers p tels que p et (p+2) soient premiers.
Alors la série des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente (vers la constante dite de Brun). ([HaSu]p56)
$$\sum_{p\,\in\, P} \left( \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p+2}\right)=\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)+\left( \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}\right)+\left( \dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}\right)+ \cdots$$
Ce théorème est à rapprocher avec le théorème dit de raréfaction d'Euler (1707-1783) qui nous dit que la somme des inverse des nombres premiers tend vers l'infini.
Remarque : On ne sait toujours pas démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux.
Histoire
C'est au mathématicien norvégien Viggo Brun (1885-1978) que l'on doit une preuve de ce théorème. De fait, la série ci-dessus converge vers la constante dite de Brun, généralement notée B2 (sequence A065421 in OEIS).
Viggo Brun (1885-1978)
En 1915, il a introduit une nouvelle méthode, basée sur la version de Legendre du crible d'Eratosthène, maintenant connu sous nom de crible de Brun qu'il utilise pour prouver ce théorème.
Attention, en revanche, la somme des inverses de tous les nombres premiers est divergente.
La constante de Brun
$$B_2=\sum_{p\,\in\, P} \left( \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p+2}\right)=\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)+\left( \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}\right)+\left( \dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}\right)+ \cdots$$
Une première estimation de la constante de Brun a été effectuée par Shanks et Wrench en 1974 à l'aide des premiers jumeaux jusqu'à 2 millions. R.P. Brent calcula en 1976 tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 1011 et améliora le résultat.
Une meilleure estimation de la constante de Brun a été réalisée par Thomas Nicely en 1994 en calculant les nombres premiers jumeaux jusqu'à 1014 . Il a par la suite amélioré cette approximation en utilisant les jumeaux jusqu'à 1,6×1015 . En septembre 2006, il donnait l'estimation suivante:
- $$B_2 = 1,902~160~582~538 ± 0,00000 00014 00$$
La meilleure estimation de l'écriture décimale de la constante de Brun a été réalisée en 2002 par Pascal Sebah et Patrick Demichel en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 1016 :
- $$B_2 \approx 1,902~160~583~104$$
