Les Nombres de Mersenne

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Marin Mersenne (1588-1648) est un religieux français, musicologue, mathématicien et philosophe.
On lui doit les premières lois de l'acoustique, qui portèrent longtemps son nom. Il aurait établi en même temps que Galilée la loi de la chute des corps dans le vide. 
Les mathématiques n'étaient pas au centre de ses préoccupations mais il étudia les propriétés de nombres entiers, nommés en son hommage, nombre de Mersenne.
Ces nombres sont encore actuellement étudiés notamment pour leurs applications en cryptographie. Ils recèlent, toujours au 21^e siècle,  bien des mystères.

1. Nombres de Mersenne

Pour tout entier \(n\), le \(n\)-ième nombre de Mersenne, \(Mn\) est un entier de la forme d'une puissance n-ième de 2 moins un, soit : $$\forall n \in \mathbb{N}^* ~~;~~M_n=2^n-1$$

Exemple : \(M_3= 7\)

2. Nombre Premier de Mersenne

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier pouvant s'écrire sous la forme \(2^n-1\), avec \(n\) lui-même entier premier.

On notant \(M1\) le 1er nombre premier de Mersenne, on a $$M1=M_2=2^2-1=3$$

Remarque : Ces notations sont usuelles mais piégeuses, notez bien la différence d'indices \(M1 \neq M_1\)

La plaque d'immatriculation de Landon Noll, informaticien californien qui a découvert en 1979 le 26e nombre premier de Mersenne, M₂₃₂₀₉. Ce nombre de Mersenne était aussi un nombre premier record, il possède 6 987 chiffres.

3. Histoire

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres. Ces derniers sont déjà étudiés par Euclide au 4^e siècle av. J.-C. puis par le suisse Euler au 18^e.

Si Mersenne n'a pas été le premier à étudier les nombres qui portent son nom, il a fourni une liste de nombres premiers de Mersenne jusqu'à l'exposant 257. Une liste cependant fausse : elle comporte par erreur 67 et 257, et les nombres 61, 89 et 107 sont oubliés.

• Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne étaient connus dès l'Antiquité.
• Le cinquième \(2^{13}-1\) a été découvert avant 1461 par un inconnu.
• Les deux suivants ont été trouvés par Pietro Cataldi en 1588.
• En 1750, Euler en trouve un autre.
• Le suivant a été trouvé par Lucas en 1876, puis un par Ivan Pervushin en 1883.
• Deux autres ont été trouvés par R. E. Powers (en) en 1911 et en 1914.

Cette course aux nombres premiers de Mersenne est révolutionnée par l'arrivée des ordinateurs.
Le 30 janvier 1952, un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de l'université de Californie à Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par Raphael Robinson (en), identifie un tel nombre. C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans.

Le Swac (Standards Western Automatic Computer) permit de prouver la primalité de M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃ et M₂₂₈₁ en 1952.

En janvier 2016, 49 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant $$M_{74.207.281}=2^{74.207.281}-1$$ Il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search.

GIMPS est un projet de calcul partagé où les volontaires téléchargent un logiciel client sur leur ordinateur personnel pour chercher les nombres premiers de Mersenne. Cela permet de faire travailler des milliers d'ordinateurs simultanément en simulant ainsi une puissance de calcul inégalée.

Le projet a été fondé par George Woltman, qui est aussi le créateur du logiciel de calcul. L'algorithme utilisé est le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne.
Ce projet a permis de trouver les dix plus grands nombres premiers de Mersenne connus.

4. Quelques propriétés des Nombres Premiers de Mersenne

Dans tout ce qui suit, \(n\) est un entier naturel non nul.

• Propriété 1 (réciproque Fausse)
  Si un nombre de Mersenne \(M_n=2^n-1\) est premier, alors \(n\) est premier.
  
  
• Contraposée (Toujours Vraie quand une propriété est Vraie)
  Si \(n\) n'est pas premier, alors le nombre de Mersenne \(2^n-1\) n'est pas premier
  
  Par exemple
  \(M_{15}=2^{15}- 1\) est un nombre de Mersenne mais n'est pas premier, car \(15 = 3\times 5\) n'est pas premier.
  
  Remarque historique
  La réciproque (fausse) de cette propriété est conjecturée par Mersenne (17e siècle).
  Le fait que \(n\) soit un nombre premier, n'implique pas que le nombre de Mersenne \(M_n\) soit premier.
  Le plus petit contre-exemple est $$M_{11} = 2047 = 23\times89$$ 11 est premier mais \(M_{11}\) ne l'est pas, comme remarqué en 1732 par le mathématicien suisse Euler.
  Ce dernier trouve aussi d'autres contre-exemples à cette réciproque,  les cas $$n = 23, 83, 131, 179, 191 ~\text{et}~ 239$$

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• Propriété 2
  Si \(M_p=2^p-1\) est un nombre premier, alors \(2^{p-1}(2^p-1)\) est un nombre parfait.
  
  Remarque historique
  Cette propriété est énoncée et démontrée par le mathématicien grec Euclide (4^ème siècle av. J.-C.), dans le Livre IX de ses Éléments.
  
  

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• Propriété 3
  Tous les nombres parfaits pairs sont de la forme : $$2^{p-1}(2^p-1)$$Remarque historique
  C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler (18^ème) qui démontre cette propriété.
  
  

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• Problèmes ouverts
  • Aucun nombre parfait impair n'est connu.
    
    
  • On ne sait toujours pas si l'ensemble des nombres premiers de Mersenne est infini.

5. Liste des Nombres Premiers de Mersenne

Le site Mersenne.org regroupe les données actuellement connues sur ces nombres.

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