Les Nombres Parfaits.

Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs propres. Ces nombre mythiques sont déjà étudiés par la Fraternité pythagoricienne.

• 6 est parfait car 6 = 1+2+3
• ainsi que 28 car 28 = 1+2+4+7+14

Dans "la cité de Dieu", Saint Augustin (354 - 430, Algérie) avançait que Dieu, bien qu'il eut pu créer le monde en un instant, avait décidé de lui consacrer 6 jours car :

 "6 est un nombre parfait en lui-même et non pas parce que Dieu a créé toutes les choses en 6 jours".

Quelques propriétés.

• PYTHAGORE de Samos (6^èmeav. J.-C.) observa que les nombres parfaits sont toujours la somme d'une série arithmétique.

  6       = 1+2+3 
  28     = 1+2+3+4+5+6+7 
  496    = 1+2+3+...+30+31
  8 128 = 1+2+3+...+126+127

• Euclide (4^ème siècle av. J.-C.) dans le Livre IX de ses Éléments, démontrait que :
  si M = 2^p - 1 est un nombre premier, alors  2^p-1(2^p - 1) est un nombre parfait.
  
  6         = 2 (2² - 1) 
  28       = 2² (2³ - 1) 
  496     = 2⁴ (2⁵ - 1)  
  8 128  = 2⁶ (2⁷ - 1)
  
  
• Le suisse Leonhard Euler (18^ème siècle), a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide soit 2^p-1(2^p - 1).
  
  
• La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2^p − 1).
  
  

A la recherche des nombres parfaits.

Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité.
Il est impressionnant de constater qu'en plus de 2 000 ans de recherche, ce total n'est passé qu'à 47.

Les nombres parfaits connus sont les 47 nombres de Mersenne premiers.
Cependant, à partir du 41^ème, on ne sait pas s'il y a des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts.

Les douze premiers nombres parfaits sont :

• P₁ = 6 = 1 + 2 + 3
  
  
• P₂ = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  
  
• P₃ = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
  
  
• P₄ = 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
  
  
• P₅ = 33 550 336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + 4 096 + 8 191 + 16 382 + 32 764 + 65 528 + 131 056 + 262 112 + 524 224 + 1 048 448 + 2 096 896 + 4 193 792 + 8 387 584 + 16 775 168
  
  
• P₆ = 8 589 869 056 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131071 + 262142 + 524284 + 1048568 + 2097136 + 4194272 + 8388544 + 16777088 + 33554176 + 67108352 + 134216704 + 268433408 + 536866816 + 1073733632 + 2147467264 + 4294934528
  
  
• P₇ = 137 438 691 328 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131072 + 262144 + 524287 + 1048574 + 2097148 + 4194296 + 8388592 + 16777184 + 33554368 + 67108736 + 134217472 + 268434944 + 536869888 + 1073739776 + 2147479552 + 4294959104 + 8589918208 + 17179836416 + 34359672832 + 68719345664
  
  
• P₈ = 2 305 843 008 139 952 128
  
  
• P₉ = 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
  
  
• P₁₀ = 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
  
  
• P₁₁ = 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
  
  
• P₁₂ = 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128