Théorème de raréfaction d'Euler (1707-1783)

Théorème

La somme des inverses des nombres premiers tend vers l'infini, (on dit qu'elle diverge).

$$\sum_{p\,\in\, P} \left( \dfrac{1}{p}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}+\cdots ~~\text{diverge}$$

Historique

Le mathématicien suisse Euler (1707-1783) démontre ce théorème en 1737.
Le théorème de Legendre (1752-1833) prouve la raréfaction des nombres premiers mais ici Euler indique que cette raréfaction n'est pas très rapide. ([Delah1]p204)

La démonstration de ce théorème d'Euler induit un encadrement de la somme des inverses des nombres premiers inférieurs à n entre ln( ln(n) ) et ln( ln(n) ) + 1.

On montre d’ailleurs que :

$$\sum_{p\in P ~;~p\leq n} \dfrac{1}{p}\geq \ln \ln (n+1)- \ln \dfrac{\pi^2}{6}$$

L'axe des abscisses est en échelle logarithmique

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