Comment évaluer le nombre de chiffres d'un nombre ?
Il faut pour cela utiliser une fonction bien connue, le logarithme.
La fonction logarithme fut introduite par le mathématicien écossais John Napier (1550-1617) au début du XVIIe siècle.
Pendant trois siècles, les tables de logarithmes et les règles à calculs ont été utilisées pour réaliser des calculs, jusqu'à leur remplacement, à la fin du XXe siècle, par des calculatrices. Ces tables permettaient de remplacer les multiplications par des additions ce qui, on en convient aisément, facilite grandement les calculs !
Le logarithme décimal (c'est-à-dire en base 10) était le plus communément utilisé. Le logarithme népérien (ou naturel) est celui qui utilise le nombre e comme base, il est fondamental en analyse mathématique car il est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Propriétés du logarithme
Les propriétés fondamentales du logarithme népérien noté ln et décimale noté log sont les suivantes :
Pour a et b des réels positifs strictement et n entier :
$$\forall (a;b) \in ]0~~+\infty[^2~~,~~\ln(ab)= \ln a + \ln b$$ $$\forall a\in ]0~~+\infty[~~,~~\ln(a^n)=n \ln a$$ $$\forall a\in ]0~~+\infty[~~,~~\log(a)= \dfrac{\ln a}{\ln 10}$$
Evaluation du nombre de chiffres d'un nombre
Considérons un nombre donné N ayant 2 chiffres,
il est donc compris entre 10 et 99 (= 100 - 1) donc entre 101 et 102 - 1 soit :
- Si N a 2 chiffres alors : 101 ≤ N ≤ 102 - 1 ou 101 ≤ N < 102
De la même façon on a :
- Si N a 3 chiffres alors : 102 ≤ N ≤ 103 - 1 ou 102 ≤ N < 103
- Si N a 4 chiffres alors : 103 ≤ N < 104
- [...]
- Si N a p chiffres alors : 10p-1 ≤ N < 10p
En passant au logarithme décimale, puisque :
$$\log10^{p-1}=(p-1) \log 10=p-1$$
$$\log10^{p}=p \log 10=p$$
On a alors :
$$\boxed{p-1 \leq \log N <p}$$
Le nombre p de chiffres de l'entier N est donc l'entier immédiatement supérieur (ou égal) à son logarithme décimal soit :
$$\boxed{p=ENT(\log N)+1}$$
Applications
- Le nombre de chiffres de \(\Large 9^{9^9}\)
On a
$$\large \log 9^{9^9}=9^9 \log 9 = 387~420~489 \times \log 9 \approx 369~693~099,632$$
Et donc le nombre p de chiffres de \(\large 9^{9^9}\) est
$$\boxed{p= 369~693~099+1 = 369~693~100}$$
Soit presque 370 millions de chiffres !
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