Les Nombres Premiers Rugeux

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Les Nombres Premiers Rugeux ("rough numbers")

Les nombres premiers, ces entiers naturels supérieurs à 1 n'ayant pour seuls diviseurs que 1 et eux-mêmes, sont souvent qualifiés d'atomes de l'arithmétique et sont étudiés depuis l'antiquité.

 

En théorie des nombres, les nombres rugueux (ou k-rugueux) constituent une classe intéressante d'entiers caractérisés par l'absence de petits facteurs premiers. Lorsqu'ils sont appliqués aux nombres premiers, ils permettent de simplifier certaines conjectures ou problèmes complexes.

 

Définition des nombres rugueux

  1. Nombre rugueux (k-rugueux) : Un entier nnn est dit k-rugueux s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à k.
    • Exemple :
      • 14 n'est pas 5-rugueux, car il est divisible par 2, un nombre premier inférieur à 5.
      • 49 est 5-rugueux, car il n'est divisible ni par 2 ni par 3 (les nombres premiers inférieurs à 5).
  2. Nombres premiers rugueux : Les nombres premiers \(p\) sont k-rugueux pour tout \(k<p\). Cela signifie que tout nombre premier \(p\) supérieur ou égal à \(k\) appartient automatiquement à cette catégorie.
    • Exemple :
      • 35 est 5-rugueux, car il n'est divisible ni par 2 ni par 3.

Propriétés des nombres rugueux

  1. Tout entier positif impair est 3-rugueux.
  2. Tout entier positif congru à 1  ou 5 mod  6 est 5-rugueux.
  3. Tout entier positif est 2-rugueux, car tous ses facteurs premiers, étant des nombres premiers, sont supérieurs à 1

 

Applications des nombres rugueux

  1. Théorie des cribles :
    • Les k-rugueux sont utilisés dans les techniques de crible pour filtrer des ensembles de nombres entiers, comme le crible d'Eratosthène généralisé.
  2. Étude des nombres premiers :
    • Les nombres rugueux permettent de simplifier certains problèmes liés aux nombres premiers en excluant les petits facteurs gênants.
  3. Démonstrations modernes :

Exemples détaillés

Liste des 5-rugueux   : https://oeis.org/A007310

Les entiers n qui ne sont pas divisibles par 2 ou 3 (les nombres premiers inférieurs à 5) : Numbers congruent to 1 or 5 mod 6.

1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 145, 149, 151, 155, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 175

Liste des 7-rugueux   : https://oeis.org/A007775

Numbers not divisible by 2, 3 or 5.

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 209

 Autres listes de rough numbers

 

Importance et perspectives

  1. Problèmes ouverts :
    • Les nombres rugueux sont utiles pour aborder des conjectures difficiles en théorie des nombres en restreignant les ensembles étudiés.
    • Ils simplifient les analyses en excluant les multiples de petits facteurs.
  2. Lien avec les distributions :
    • La distribution des k-rugueux peut fournir des intuitions sur la répartition des nombres premiers.
  3. Applications cryptographiques :
    • Bien qu'indirectement, les nombres rugueux sont liés à la génération de grands nombres premiers pour des applications en sécurité informatique.

Conclusion

Les nombres rugueux, et plus particulièrement les nombres premiers rugueux, offrent un outil puissant pour explorer la théorie des nombres. Leur capacité à exclure les petits diviseurs tout en conservant des propriétés analytiques similaires aux nombres premiers classiques en fait un sujet d'intérêt tant pour les mathématiques pures que pour leurs applications modernes.

 

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