Groupe Quotient.

1. Définition.

• Relation d'équivalence.

Si H est un sous-groupe de G, la relation ℛ définie par : 

x ℛ y ⇔ x^-1y ∈ H

Est une relation d'équivalence (Réflexive, symétrique et transitive).

• Classes d'équivalence.
  • A tout a ∈ G, on associe sa classe d'équivalence : cl(a) = { g ∈ G | g ℛ a }
  • Les classes d'équivalences sont les ensembles de la forme xH.
    xH = { g ∈ G | ∃h ∈ H, g = xh }
    
    
• L'ensemble quotient.
  • L'ensemble formé par les classes d'équivalence s'appelle le quotient de G par ℛ.
  • L'ensemble quotient de G par cette relation, G/ℛ est noté : G/H.

2. Théorème de Lagrange,
     du nom du mathématicien français LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813).

Card G = Card H × Card G/H 

3. Histoire.

Le terme groupe quotient fut introduit par le mathématicien allemand Otto Ludwig HÖLDER (1859-1937) en 1889, selon un document produit par le mathématicien anglais William Henry YOUNG (1863-1943) en 1893.