Ordre d'un groupe.

Ordre du groupe G.

Si (G,_*) est un groupe fini, on appele ordre de G le cardinal de G : 
Ordre de G = card G.

Ordre d'une élément de G.

L'ordre de x, élément du groupe G, est le plus petit entier non nul n tel que : 
xⁿ = e, où e est lélément neutre de G pour _*.
Si un tel n n'existe pas, on dit que x est d'ordre infini. 

Proposition.

1. Si x ∈ G est d'ordre n fini : x^m = e ⇒ n divise m. (Avec m∈ℕ*)
2. Si x ∈ G est d'ordre n fini :  <x> = {e, x, x²,..., x^n-1 } et est isomorphe à (ℤ/nℤ,+).
3. Si x ∈ G est d'ordre infini : <x> est isomorphe à (ℤ,+).
4. Si G est fini, tout élément de G est d'ordre fini et cet ordre divise card G.