Le Triangle de Pascal et coefficient binomiaux

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Le triangle arithmétique de Pascal est le triangle dont la ligne d'indice n (n = 0, 1, 2...) donne les coefficients binomiaux \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix}\) pour p = 0, 1, 2..., n.

Deux notations coéxistent pour ces coefficients et sont préconisées par la norme ISO/CEI 80000-2: la première est celle du « coefficient binomial »  et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition » .

$$\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} = C^p_n = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$$

Ces nombres apparaissent dans le développement de (a + b)ⁿ et dans nombreux domaines en mathématiques comme l'analyse combinatoire.

 

Méthode de construction du triangle de Pascal

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La construction de ce triangle de Pascal est simple,

• on part de 1 à la première ligne, par convention c'est la ligne zéro (n = 0)
• Pour avoir un terme de la ligne suivante, on prend le terme juste au-dessus, et on lui additionne celui qui est juste avant, (0 si il n'y a rien). 

Mathématiquement, on applique la formule : 

$$\begin{pmatrix}{n+1}\\{p}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{n}\\{p-1}\end{pmatrix}$$

Histoire du triangle de Pascal et des coefficients binomiaux

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La plus ancienne illustration existante du «triangle de Pascal» est due mathématicien chinois YANG Hui (1238 – 1298) dans son livre Xiangjie Suanfa Jiuzhang (详解 九章 算法) de 1261. Yang y expose sa méthode de recherche des racines carrées et des racines cubiques en utilisant le triangle tout en précisant : 

« ma méthode pour extraire les racines carrée et cubique est basée sur la méthode de Jia Xian présentée dans le Shi Suo Suan Shu »

C'est en efffet au mathématicien JIA Xian (1010 - 1070) que l'on doit la plus ancienne utilisation de ce triangle arithmétique, en 1100, dans son livre (aujourd'hui perdu) connu sous le nom de Shi Suo Suan Shu.

En 1303, on retrouve aussi ce triangle de Pascal chez le mathématicien chinois ZHU Shijie (1260-1320) dans le "Miroir de jade des quatre inconnues".

Par la suite, le mathématicien perse AL-KASHI (né vers 1380, Kashan (Iran) - mort en 1429, Samarcande (Ouzbékistan)) l'utilise vers 1400.

Son nom reste pourtant lié au célèbre mathématicien français PASCAL Blaise (1623 - 1662), car il en propose une étude détaillée en 1653. 

Le triangle de Pascal dans le "Miroir de jade des quatre inconnues" de ZHU Shijie (1260-1320).
Publié plus de 3 siècles avant les oeuvres du français.

La notation des coefficients binomiaux

C'est le mathématicien et physicien autrichien Andreas von Ettingshausen qui le premier introduit la notation  \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} \)  en 1826.

Ces coefficients sont déjà étudiés au début du 10e siècle par les mathématiciens indiens et vers 1150, le mathématicien Bhaskaracharya en donne une description dans son ouvrage Līlāvatī.

C'est coefficienten en

 

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

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1. Coefficients du développement de (a + b)ⁿ

Pour \(a\) et \(b\) des réels (ou complexes) et  \(n\) un entier naturel.
Les nombres \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} \) sont en fait les coefficients du développement de \((a+b)^n\).

$$(a+b)^n=\sum\limits_{\substack{k=0}}^{n}{\begin{pmatrix}{n}\\{k}\end{pmatrix}\, a^k\, b^{n-k}}     $$

 

Par exemple : 

• • La ligne 0 est : 1  soit le coefficient de : (a + b)⁰ = 1.
  • La ligne 1 est : 1 - 1 soit les coefficients de : (a + b)¹ = 1×a + 1×b.
    
    Tout commence vraiment à la ligne n°2 (la 3^ème en fait) : 
    
    
  • La ligne 2 est : 1 - 2 - 1
    soit les coefficients de : (a + b)² = 1×a² + 2×ab + 1×b².
    
    
  • La ligne 3 est : 1 - 3 - 3 - 1
    soit les coefficients de : (a + b)³ = 1 a³ + 3 a²b + 3 ab²+ 1 b³.
    
    
  • La ligne 4 est : 1 - 4 - 6 - 4 - 1 
    soit les coefficients de : (a + b)⁴ = 1 a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4 ab³ + 1 b⁴.
    
    
  • La ligne 5 est : 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1 
    soit les coefficients de : (a + b)⁵ = 1 a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5 ab⁴ + 1 b⁵. 

Soit :

$$(a+b)^5=a^5+5 a^4b + 10 a^3b^2 + 10 a^2b^3 + 5 ab^4 + b^5$$

 

2. En analyse combinatoire

Soit \(n\) et \(p\) des entiers naturels avec \(0\leq p \leq n\).

1. Le nombre de sous-ensembles ayant \(p\) éléments d'un ensemble E ayant \(n\) éléments est \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} = C^p_n\).
2. Les nombres \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} = C^p_n\)  correspondent, au nombre de façons de tirer \(p\) objets parmi \(n\).  

Par exemple : 

• • La ligne 5 est : 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1 donc
    
    
    • \(\begin{pmatrix}{5}\\{0}\end{pmatrix}=C^0_5=1\)   : Il y a 1 seule façon de tirer 0 objet parmi 5.
    • \(\begin{pmatrix}{5}\\{1}\end{pmatrix}=C^1_5=5\)   : Il y a 5 façons de tirer 1 objet parmi 5.
    • \(\begin{pmatrix}{5}\\{2}\end{pmatrix}=C^2_5=10\) : Il y a 10 façons de tirer 2 objets parmi 5.
    • \(\begin{pmatrix}{5}\\{3}\end{pmatrix}=C^3_5=10\) : Il y a 10 façons de tirer 3 objets parmi 5.
    • \(\begin{pmatrix}{5}\\{4}\end{pmatrix}=C^4_5=5\) : Il y a 5 façons de tirer 4 objets parmi 5.
    • \(\begin{pmatrix}{5}\\{5}\end{pmatrix}=C^5_5=1\) : Il y a 1 seule façon de tirer 5 objets parmi 5. 

Les coefficients binomiaux pour \(n = 0 , ... ,16\)

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n/p	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
13	1	13	78	286	715	1287	1716	1716	1287	715	286	78	13	1
14	1	14	91	364	1001	2002	3003	3432	3003	2002	1001	364	91	14	1
15	1	15	105	455	1365	3003	5005	6435	6435	5005	3003	1365	455	105	15	1
16	1	16	120	560	1820	4368	8008	11440	12870	11440	8008	4368	1820	560	120	16	1

 

On peut donc directement avec ce tableau écrire la forme développée de :

$$(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$$

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Bibliographie

• [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.

 

Articles Connexes

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