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Terminale Spécialité Maths
Démonstration par récurrence
Cette page présente la démonstration par récurrence, un raisonnement fondamental de terminale spécialité mathématiques. Elle rassemble le cours, les travaux dirigés, les exercices et quelques repères historiques autour de ce type de preuve.
Principe de la démonstration par récurrence
Objectif du chapitre
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu’une propriété dépendant d’un entier naturel est vraie pour tous les entiers à partir d’un certain rang.
Il est particulièrement utile dans les chapitres sur les suites, les sommes, les inégalités, la divisibilité, les algorithmes et certaines propriétés de dénombrement.
Méthode de rédaction
Pour démontrer par récurrence qu’une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geq n_0\), on rédige généralement en trois étapes.
- 1. Initialisation On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, souvent pour \(n=n_0\).
- 2. Hérédité On suppose que la propriété est vraie à un rang quelconque \(n\), puis on démontre qu’elle est vraie au rang \(n+1\).
- 3. Conclusion On conclut que la propriété est vraie pour tout entier \(n \geq n_0\), d’après le principe de récurrence.
Cours sur la démonstration par récurrence
Travaux dirigés sur la récurrence
Compléments
Devoirs et méthode
Un peu d’histoire des mathématiques
La notion de preuve par récurrence
C’est au mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français Blaise Pascal (1623-1662), dans son Traité du triangle arithmétique écrit en 1654 mais publié en 1665, que l’on attribue la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence.
Certains historiens des sciences voient aussi dans des formes moins abouties ce principe de récurrence dans les travaux du mathématicien indien Bhāskara II (1114-1185), dans la démonstration d’Euclide (v. -300) de l’existence d’une infinité de nombres premiers ou dans des travaux des mathématiciens perses Al-Karaji (953-1029) ou Ibn al-Haytham (953-1039).