Une histoire des équations ... polynomiales

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Equations ... Quelques définitions

Quelques définitions

• Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs variables que l'on note par des lettres.
• Résoudre une équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour que l'égalité soit vérifiée.
• La variable est aussi appelée inconnue et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée solutions.
  À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable.
• Une équation est dite polynomiale si elle peut s'écrire sous la forme

$$P(x)=0~~\text{où}~~ P ~~\text{est un polynôme}$$

On va ici s'intéresser principalement aux équation polynomiales

• Une équation est de degré 1 si le polynôme est de degré 1 (en \(x\) pour simplifier) , de degré 2 si le polynôme est de degré 2 (en \(x^2\) pour simplifier)...
  
  Par exemples :
  
  
  • L'équation : \(2x+3=0\) est de degré 1 ;  
  • L'équation : \(2x^2+3x-5=0\) est de degré 2 ;
  • L'équation : \(2x^3+x^2+4x+3=0\) est de degré 3 ...

Premier bilan historique sur la résolution d'équations

Des équations du premier et du second degré (où les coefficients sont des nombres donnés) sont déjà résolues avec une méthode générale par les Babyloniens vers 1700 av. J.C et peut être même plus tôt.

Pour les équations du 3ème degré, il faut attendre 1515 avec l'italien Scipio del Ferro (1465-1526) dont les papiers sont cependant perdus.
Puis ses compatriotes Nicolo Tartaglia et Gérolamo Cardano (1501-1576) poursuivent ses travaux.
Pour celles du 4ème degré, c'est Ludovico Ferrari (Bologne 1522-1565, en 1540), un élève de Cardan, a qui on doit une méthode habile de résolution.

1. Une chronologique résumant l'étude

Equations du 2^ème degré

• Les Babyloniens : 1 800-1 500 av. J.-C.
  Les tablettes de cette époque conservent une foule d'informations, en particulier elles nous révèlent une algèbre déjà très développée et témoignent de la maîtrise des Babyloniens à résoudre des équations du second degré. La tablette d'argile babylonienne n° 13901 du British Museum (Londres), a été qualifiée de « véritable petit manuel d'algèbre, consacré à l'équation du second degré et aux systèmes d'équations, et donnant les procédures résolutoires fondamentales ».
  
  
• Diophante au 4^ème siècle.
  Diophante (4^e siècle) poursuit les recherches des Babyloniens. Il aura une approche algébrique du problème.
     
• Au 8e siècle, le mathématicien indien Sridhar Acharya propose une méthode pour calculer les deux racines réelles.
    
• Vers 820-830, Al-Khwarizmi.
  Vers 820-830, Al-Khwarizmi, membre de la communauté scientifique réunie autour du calife al Mamoun, décrit, dans son traité d'algèbre, des transformations algébriques permettant de résoudre des équations du 2e degré.
  
  
• Les racines négatives sont ignorées jusqu'au 16^ème.
  Suivant les idées développées par Stevin en 1585, Girard en 1629 donne des exemples d'équations avec racines négatives.
  "Le négatif en géométrie indique une régression, alors que le positif correspond à un avancement.". Il n'a d'ailleurs pas plus de scrupules avec les racines complexes.
  
  
• Exemple d'écriture de l'équation : 2x² - 5x = 23 de Diophante à nos jours.

Equations du 3^ème degré.

• Ménechme : 375 à 325 av. J.-C., Grèce.
  Les grecs ont résolus ces équations géométriquement, par intersection de coniques (ellipses, paraboles et hyperboles). Le plus ancien des problèmes du 3^ème degré remonterait à Ménechme (375 à 325 av.J.-C.).
  
  
• Archimède : 287-212 av. J.-C.
  Archimède (287-212 av.J.-C.) avait lui cherché à couper une sphère de rayon R par un plan de façon que le rapport des volumes des 2 parties ait une valeur donné k. Cela donne une équation de degré 3.
  
  
• Omar Khayyâm (1048-1131) et Sharaf ad Din at Tusi (vers 1160).
  Astronome et mathématicien, Omar Khayyâm, dans son traité d'algèbre (1074) étudie les équations du 3^ème degré à coefficients strictement positifs.
  Cent ans plus tard Sharaf ad Din at Tusi classe les équations, non plus comme Omar Khayyâm suivant le signe des coefficients, mais suivant l'existence de racines strictement positives.
  
  
• Scipio del Ferro (1465-1526), Niccolo Tartaglia (1500-1557), Jérôme Cardan (1501-1576).
  Scipio del Ferro (1465-1526), professeur à Bologne, découvre la résolution algébrique des équations : avec \(p,q>0\) il ne considère pas les coefficients négatifs.
       $$x^3+ px = q ~~:~~ (E_1)  ~~;~~x^3        = px + q ~~:~~ (E_2) ~~;~~     x^3 + q  = px ~~:~~ (E_3)$$
  

  En 1535, Niccolo Tartaglia réussi à résoudre une trentaine de problèmes de type (E₁), mais il garde secrète sa méthode.
  Par la suite, Jérôme Cardan (1501-1576), lui arrache son secret (en 1539) et réussi à étendre la méthode aux équations de type (E₂) et (E₃).

  => Pour plus de précisions :  Le conflit Tartaglia-Cardan.
  
  
• Euler (1707-1783).
  Mais c'est Euler qui a éclairci la détermination des 3 racines dans un article en latin de 1732.
  
  
• La résolution : Comment résoudre une équation de degré 3 ?

Equations du 4^ème degré.

• Jérôme Cardan (1501-1576) et Lodovico Ferrari (1522-1565).
  Cardan donne une méthode au chapitre 39 de l'Ars Magna. Il précise qu'elle a été trouvée par son élève Lodovico Ferrari. 
  
  
• Viète (1540-1603, France).
  Dans son texte de 1615, François Viète expose clairement la méthode de Ferrari.
  
  
• Descartes (1596-1650).
  Descartes expose aussi une autre méthode de résolution, par coefficients indéterminés.

$$x^4+px^2+qx+r=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$

 Equations de degré 5 et supérieur

• Le théorème d'Abel
  Ce théorème parfois appelé théorème d'Abel-Ruffini ou encore théorème de Ruffini, indique que :
  "Pour tout polynôme à coefficients de degré supérieur ou égal à 5, il n'existe pas d'expression « par radicaux » des racines du polynôme, c'est-à-dire d'expression n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes." 

Ce résultat est exprimé pour la première fois par Paolo Ruffini, puis démontré rigoureusement par Niels Henrik Abel.

C'est cependant le légendaire mathématicien français Évariste Galois (1811-1832) qui donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation polynomiale soit résoluble par radicaux. Cette version plus précise permet d'exhiber des équations de degré 5, à coefficients entiers, dont les racines complexes — qui existent d'après le théorème de d'Alembert-Gauss — ne s'expriment pas par radicaux.

2. Une histoire des Équations du second degré

Les babyloniens.

En Mésopotamie, les Sumériens ont inventé la première écriture vers 3 300 av.J.-C. (voir aussi l'histoire des nombres).

Des fouilles, commencées au 19e siècle ont permis d'exhumer plusieurs centaines de tablettes d'argile frappées au stylet en écriture cunéiforme et probablement cuites ensuite. Près de 300 d'entre elles concernent les mathématiques et datent, soit de la première dynastie babylonienne 1 800-1 500 av.J.-C. (marquée par le règne d'Hammurabi), soit de la période hellénistique, entre 600 et 300 av. J.-C.

• Tablette du British Museum n°13 901.

Cette tablette cunéiforme Babylonienne contient plusieurs problèmes du second degré résolus par la méthode classique.
Les tablettes de cette époque conservent une foule d'informations, en particulier elle nous révèle une algèbre déjà très développée et témoigne de la maîtrise des Babyloniens à résoudre des équations du second degré.  

 

• Tablette d'argile (2 400 ans av. J.-C.) en écriture cunéiforme.
  Les premiers textes connus sont très courts et traitent pour la plupart de comptabilité : de sacs de grains, d'esclaves, d'animaux domestiques.
  
  Une numérotation à base 60 est employée, à l'origine de notre division des heures et des degrés (5 000 ans plus tard !).
  Cette civilisation extraordinaire voit lui succéder, entre 1900 et 1600 av. J.-C., un empire dont la capitale est Babylone (sur l'Euphrate, juste au sud de la Bagdad actuelle).

 

Dans ces problèmes, les solutions sont toujours des nombres positifs à développement simple et fini en base 60 : le discriminent est le carré d'un nombre simple, la division part a se fait bien.
Mises à part ces restrictions, on voit que les Babyloniens maîtrisaient l'algorithme de résolution algébrique des équations du second degré. Même le cas des équations du second degré admettant 2 racines positives distinctes semble abordé dans des problèmes où apparaissent la longueur et la largeur d'un rectangle, ce qui permet de distinguer à l'aide d'une relation d'ordre ce qui ne peut l'être algébriquement.

Les Grecs

Les Babyloniens n'écrivaient que des recettes sur leurs tablettes et ce sont les Grecs qui fonderont les mathématiques sur la méthode déductive.

Le savoir Babylonien est ignoré par les Grecs jusqu'à ce que Diophante (4e siècle) s'y intéresse et poursuive les recherches des habitants du "pays-d'entre-les-fleuves". Il aura une approche algébrique du problème.
Avant lui, les méthodes sont géométriques.
C'est probablement par un argument géométrique qu'est démontrée l'irrationalité de √2 vers 430 av. J.-C.
Cette découverte est attribuée à Hippasos de Métaponte qui, ne pouvant en supporter les conséquences intellectuelles, se serait noyé dans la mer Égée. L'école de Pythagore visait en effet une explication globale symbolisant la totalité du cosmos, comme en témoigne la devise "toutes choses sont des nombres" , et l'échec de l'adéquation du monde aux nombres entiers provoque une première crise dans l'histoire des mathématiques.

Dans les éléments d'Euclide (vers -300), les méthodes sont géométriques et les calculs algébriques ne peuvent se développer, un produit de deux longueurs étant considéré comme une surface.

Rem. : Les œuvres des Grecs ne nous sont connues que par des manuscrits postérieurs de 1 000 ans à leurs auteurs, chargés de remaniements de toutes sortes. Certaines œuvres ne sont même connues que par une traduction arabe.

Les Arabes

Au 8^ème siècle, les mathématiciens Arabes, ou plus exactement ceux venant de régions allant de l'Espagne au Moyen Orient, commencent à se procurer des manuscrits grecs à Constantinople. Ils reçoivent aussi des livres indiens de calcul qui expliquent l'usage du zéro.

Vers 820-830, Al-Khwarizmi (originaire d'Ouzbékistan, connu plus tard par des traductions latines appelées Algorismus, origine du mot algorithme), membre de la communauté scientifique réunie autour du calife al Mamoun, décrit, dans son traité d'algèbre, des transformations algébriques qui, avec nos notations, donnent pour l'équation :

\(6x^2-6x+4 = 4x^2-2x+8\)
\(6x²+4+2x = 4x²+8+6x\)  : par al jabr (ce verbe, exprime le remplissage ou la réduction d'une fracture)
\(3x²+2+x = 2x²+4+3x\)  : par al hatt
\(x² = 2x+2 \)   : par al muqqabala

Il distingue 6 types d'équations de degré inférieur ou égal à 2 (car les coef. a,b,c sont positifs)

$$ax^2=bx ~~;~~ax^2=b~~;~~ ax=b~~;~~ ax^2+bx=c~~;~~ ax^2+c=bx ~~;~~ ax^2=bx+c$$

En outre, pour l'équation \(x^2 = 8x\), il ne donne que la racine 8, (oubliant la racine 0 qui n'est pas considérée comme un nombre, cf. l'histoire du zéro). Des justifications géométriques des résolutions proposées sont données mais, à l'opposé des Grecs, l'esprit de la méthode est algébrique.

Usage des nombres négatifs

L'usage des nombres négatifs ne se répand qu'à la fin du 16^e siècle, même s'il font leur apparition 1000 ans avant dans les mathématiques indiennes. Cela explique donc que la généralisation de la méthode de résolution d'équations du second degré soit si lente.
Suivant les idées développées par Stevin en 1585, Girard en 1629 donne des exemples d'équations avec racines négatives. "Le négatif en géométrie indique une régression, alors que le positif correspond à un avancement.". Il n'a d'ailleurs pas plus de scrupules avec les racines complexes.

Il ne faut cependant pas croire que les racines négatives aient alors été acceptées par tous :

• Bézout, en 1768, écrit encore que les équations n'ont de racines négatives que lorsque l'énoncé est "vicieux",
• Lazare Carnot (1753, 1823), écrit dans son traité de géométrie :
  "Pour obtenir une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible."

 

2. Équations du troisième degré
Les Grecs

Les grecs ont résolus ces équations géométriquement, par intersection de coniques (ellipses, paraboles et hyperboles). Le plus ancien des problèmes du 3ème degré remonterait à Ménechme (375 à 325 av.J.-C.) qui, pour obtenir x tel que \(x^3=a^2b\), se ramène à l'intersection de \(x^2=ay \)(parabole) et de \(xy=ab\) (hyperbole).

Archimède (287-212 av.J.-C.) avait lui cherché à couper une sphère de rayon R par un plan de façon que le rapport des volumes des 2 parties ait une valeur donné k.

Si h est la hauteur d'une des parties, h vérifie :

$$h^3 + \dfrac{4kR^3}{k+1}= 3Rh^2$$

Omar Khayyâm (1048-1131) et Sharaf ad Din at Tusi (vers 1160).

Astronome et mathématicien, Omar Khayyâm était aussi poète. Il vécut en Asie centrale et en Iran (1048-1131).
Son traité d'algèbre (1074) étudie les équations du 3e degré à coefficients strictement positifs. Il est donc conduit à en distinguer 25 !!

Ne bénéficiant pas des notations usuelles introduites bien plus tard (cf. symboles), il les exprime dans le langage courant,

• l'inconnue x est la chose
• et \(x^2\) le trésor ...

et il respecte les conditions d'homogénéité)

Par exemple, pour \(x^3 + ax = b\), il pose \(\begin{cases}a=c^2\\ b= c^2h\end{cases}\) et obtient la solution comme intersection de la parabole \(y=x^2/c\) et du cercle \(y^2 = x(h-x)\)

100 ans plus tard Sharaf ad Din at Tusi classe les équations, non plus comme Omar Khayyâm suivant le signe des coefficients, mais suivant l'existence de racines strictement positives.
Il résout les problèmes liés à l'homogénéité de dimension d'une façon qui annonce Descartes (1596-1650) : tout nombre x s'identifie aussi bien à une longueur qu'à une surface rectangulaire de côté 1 et x ou encore à un volume (1,1,x). Il inaugure en outre l'étude des polynôme, introduisant leur dérivée, recherchant leur maximum, etc..

Scipio del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1500-1557), Cardan (1501-1576)

Le travail des mathématiciens italiens depuis Léonard de Pise aboutit enfin en 1515. Scipio del Ferro (1465-1526), professeur à Bologne, découvre la résolution algébrique des équations : \(p,q>0\)

$$\begin{cases}x^3 + px = q ~~:~~(1) \\x^3 = px + q ~~:~~(2) \\ x^3 + q = px ~~:~~(3)\end{cases}$$

En 1535, un élève vénitien de Scipio del Ferro (1465-1526), Fiore, défie publiquement Niccolo Tartaglia (1500-1557) de résoudre une trentaine de problèmes de type (1). Celui-ci y parvient mais garde secrète sa méthode.
Par la suite, Jérôme Cardan (1501-1576), lui arrache son secret (en 1939) et réussi à étendre la méthode aux équations de type (2) et (3). (Pour plus de précisions, cf. Le conflit Tartaglia-Cardan).

Tartaglia mettra sa solution en poème en utilisant le vocabulaire de l'époque :

Quando che'l cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto
i.e. Quand le cube avec les choses (les x) est égal à un nombre...

En 1545, Jérôme Cardan (1501-1576) publie donc toutes ces solutions dans son Ars Magna ("Grand œuvre"). Cet ouvrage est très important car l'équation du 3e degré y est enfin résolue et les premiers calculs menés avec des racines de nombres négatifs y sont présentés.

La méthode de Cardan.

En 1545, Cardan explique, sur la base de nombreux exemples numériques, qu'il considère comme illustrant des cas généraux (le symbolisme algébrique n'est pas encore de mise), comment trouver une racine de l'équation.

Mais c'est Euler (1707-1783) qui a éclairci la détermination des 3 racines dans un article en latin de 1732.
Donnons la méthode de Cardan avec les notations usuelles sans distinguer les différences dues aux signes des coefficients comme le faisait Cardan.
On sait que l'on peut se ramener par translation à une équation de la forme :

$$x^3+px+q=0$$

• Etape 1

On pose \(x=u+v\) et on impose la condition \(3uv=-p\) car
$$x^3+px+q = (u+v)^3 + p(u+v) + q = 0$$

soit

$$u^3+v^3+(u+v)(3uv+p)+p=0$$

d'où avec la condition, \(u^3+vç3+p=0\)

• Etape 2 : On obtient donc le système 

$$\begin{cases}u^3+v^3=-p \\ u^3v^3 = -p^3/27\end{cases}$$

• Etape 3 : On pose \(\begin{cases}U=u^3 \\V=v^3\\UV=-p^3/27\end{cases}\)
  
  Donc U et V sont solutions de l'équation \(X^2+qX-p3/27 = 0\) (somme et produit de racines... x²-Sx+q=0....)
  
  D'où, le carré du discriminant est : \(\Delta^2 = q^2 - 4p^3/27\)
  
  et on a par exemple : \(\begin{cases}U= (-q +\Delta )/2\\ U= (-q -\Delta)/2 \end{cases}\)
  
  Cardan termine la résolution ici en donnant comme unique solution :

$$ x= 3\sqrt{U} + 3\sqrt{V} $$

• Résolution incomplète.
  Bien évidemment, Cardan oublie 2 solutions et c'est le génial mathématicien suisse, EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783, Suisse) qui va compléter l'étude.
  Euler lui traite les racines cubiques et trouve les 2 autres solutions.
  
  Si \(U = u^3\) alors les autres racines cubiques de U sont \(ju\) et \(j^2u\) auxquelles correspondent \(-p/(3ju)\) et \(-p/(3j²u)\) , puisque \(3uv=-p\).
  
  
• Les solutions de l'équation sont donc :

$$\begin{cases} u+v\\ ju+j^2v \\ j^2u+jv\end{cases}$$

• Exemple de résolution de x³+3x=10

 

3. Équations du quatrième degré

Cardan donne une méthode au chapitre 39 de l'Ars Magna. Il précise qu'elle a été trouvée par son élève Lodovico Ferrari. elle consiste à se ramener par une translation à la résolution d'équations de la forme :

$$x^4+px^2+qx+r = 0$$

Cardan refuse cependant les nombres négatifs et ne donne que quelques cas.

1°) On pose \(z=x^2+y\), d'où :

$$\begin{align*}z^2&= x4+2x^2y+y^2 \\z^2&= -px^2-qx-r+2x^2y+y^2\\z^2&=(2y-p)x^2-qx+y^2-r\end{align*}$$

2°) On choisit y de telle façon que le membre de droite soit de la forme (Ax+B)² en écrivant que son discriminant doit être nul :

$$q^2 - 4(y^2-r)(2y-p) = 0$$

Ce qui donne une équation de degré 3 (que l'on appellera par la suite résolvante)

3°) On obtient une de ses racines, t , par la méthode de Cardan exposée ci-avant, ce qui donne :

$$(x^2+t)^2 = (Ax+B)^2~~\text{soit}~~ \begin{cases} x^2 = -t + (Ax+B) \\\text{ou}~~ x^2 = -t - (Ax+B)\end{cases}$$

et 4 valeurs pour x

4°) Remarque : dans le cas où le membre de droite n'est pas du second degré, c'est que \(y = p/2\) et donc \(q=0\). L'équation est alors bicarrée \(x^4+px^2+r = 0\) et on sait facilement la résoudre en posant \(X=x^2\). Dans son texte de 1615, François Viète expose clairement la méthode de Ferrari.

Cardan répugnant à introduire des équations de degré supérieur à 3 car :

"les équations de degrés 1, 2, 3 concernent de segments, des aires, des volumes et la Nature ne permet pas d'en considérer d'autres", affirme-t-il.

Descartes expose aussi une autre méthode de résolution, par coefficients indéterminés.

$$x^2+px^2+qx+r=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$

On vérifie alors que a² est racine d'une équation de degré 3 et que b, c, d dépendent rationnellement de a.

 

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Bibliographie :

• J.L.AUDIRAC (Vie et œuvre des grands mathématiciens, p30) -Magnard
• Jean-Pierre ESCOFIER (Théorie de Galois, p9) - Masson
• A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER (Une histoire des mathématiques, p12)- Points sciences
• TERRACHER (Analyse 1res S et E, p54) - Hachette

 

Articles Connexes 

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• Équations, Exemple de résolution pour le degré 3
• Équation, Évolution de l'écriture
• FERRARI Ludovico
• BOMBELLI Rafaël
• TARTAGLIA Nicolo
• CARDAN Gerolamo
• Le conflit Tartaglia - Cardan