Résolution de l'équation : x³ + 3x = 10.

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Utilisons la méthode de CARDAN Gerolamo (Pavie, 1501 - Rome, 1576)

1°) On pose x = u+v et on impose la condition 3uv = -p (pour résoudre x³ + px + q = 0 )

(u+v)³ + 3(u+v) = 10
u³+3u²v+3uv²+v³ + 3u + 3v = 10
u³ + v³ + 3uv(v+u) + 3(u+v) = 10
u³ + v³ + (3uv + 3 )(v+u) = 10 et on impose 3uv = -3 soit uv= - 1

D'où u³ + v³ = 10 et u³ v³ = -1

2°) On obtient donc le système : u³+v³ = -p = 10 et u³v³ = -p³/27 = -1

3°) On pose U=u³ et V = v³ soit U + V = 10 et UV= -1

donc U + V = 10 et UV = -1 donc U et V sont solutions de x² - 10x -1 = 0
Δ² = 100 + 4 = 104 et U = (10 + √104)/2 = 5+√26 , U = (10 - √104)/2 = 5 - √26

4°) Les solutions de l'équations sont donc :

x = u+v = 3√(5+√26) + 3√(5-√26) (dans IR)
Les 2 autres sont ju + j²v et j²u + jv (avec j tel que 1 + j + j²=0, j  =e^2ip/3)