Les Fractions égyptiennes
Définition
Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à un et des dénominateurs entiers positifs, avec ces dénominateurs tous différents les uns des autres.
Il peut être montré que tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes.
Par exemple : \(\dfrac25=\dfrac15+\dfrac16+\dfrac{1}{30}\) est une fraction dite égyptienne.
Toute la question est alors :
- de savoir trouver cette décomposition en fractions unitaires,
- et de trouver le nombre minimal de fractions permettant cette décomposition.
Histoire
La Numération égyptienne
Les Egyptiens, vers 1 600 av. J.-C., utilisaient deux systèmes d'écriture.
- L'un, hiéroglyphique, utilisé sur les monuments et les pierres tombales, est d'ordre pictural. Chaque symbole, représente un objet.
La numération hiéroglyphique est à base 10, non positionnelle. - L'autre, hiératique, une langue en signes cursifs bien plus pratique d'utilisation que les célèbres hiéroglyphes.
La numération hiératique est aussi décimale, mais des signes spéciaux supplémentaires évitent la répétition des symboles du système hiéroglyphique.
: pour le 1 ; 
: pour 10 ; 
: pour 100 ;
Par exemple le nombre 232 s'écrit :
=> Pour en savoir plus, consultez la page dédiée à la numération égyptienne.
Le Papyrus de Rhind
Cette écriture hiératique prédomine sur les papyrus, qui sont la principale source de renseignements sur les mathématiques égyptiennes.
Les plus célèbres sont :
- Le Papyrus de Moscou, écrit vers 1 850 av. J.-C et découvert en 1893 par le russe Vladimir Semionovitch Golenichtchev (1856-1947). Conservé au Musée des Beaux-arts de Moscou.
- Le Rouleau de cuir des mathématiques égyptiennes. Mis à plat en 1927, il comporte 26 additions de fractions unitaires. Il est conservé au British Museum de Londres, n° 10 250.
- Et surtout, le célèbre Papyrus de Rhind, datant de 1650 avant notre ère et conservé au British Museum de Londres.
=> Pour en savoir plus, consultez la page dédiée au Papyrus de Rhind.
Écrit en hiératique, le papyrus Rhind comporte une introduction, une table de décomposition de fractions de type \(\dfrac2n\), et une liste de 86 problèmes avec leurs solutions.
Ecriture des fractions
En dehors des entiers, les égyptiens ne concevaient que des fractions unitaires (de numérateur 1).
Ils admettaient que des fractions puissent avoir un numérateur différent de 1, ils refusaient de les manipuler et de calculer avec.
En outre, exceptés \(\dfrac23\) et \(\dfrac34\) (nous verrons pourquoi \(\dfrac23\)), qui étaient représentés chacun par un hiéroglyphe spécial, ils n'avaient de symbole que pour les fractions de numérateur un.
Les Égyptiens utilisaient pour exprimer ce type de fractions un hiéroglyphe en forme de bouche sous lequel ils plaçaient un nombre en guise de dénominateur.
- Trois symboles spéciaux :
: \(\dfrac34\) ; 
: \(\dfrac12\) et 
=\(\dfrac23\) - Le symbole marquant la fraction unitaire (de numérateur 1) :
Par exemple pour \(\dfrac14\) : Voir aussi sur le bas relief de temple de Kôm Ombo ci-dessous.
Par exemple pour \(\dfrac13\) :
Par exemple pour \(\dfrac{1}{325}\), si le dénominateur devenait trop large, la "bouche" était placée juste au début du dénominateur :
Un exemple : Le temple de Kôm Ombo
On peut voir sur ce relief du temple du temple de Kôm Ombo, situé à 165 km au sud de Louxor, une représentation de plusieurs fractions dont celle de \(\dfrac14\).
Les Fractions égyptiennes : Utilisation
Une fraction égyptienne est donc une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à 1 et des dénominateurs entiers positifs, (avec ces dénominateurs tous différents les uns des autres).
L'arithmétique égyptienne s'organise autour de quelques règles (exposées dans les différents papyrus sous forme de tables) :
- La possibiliter de diviser ou multiplier par 2 un entier ;
- La décomposition de toute fraction en somme de fractions unitaires ;
- Le calcul aisé de \(\dfrac23\) de toute fraction unitaire en appliquant la formule :
Règle qu'ils simplifient quand le dénominateur est pair :
Décomposition en somme de fractions unitaires
Les scribes égyptiens proposent donc une décomposition de toute fraction en somme de fractions de numérateurs 1.
Est-ce toujours possible ? Oui !
Il peut être montré que tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes.
Il est facile d'exprimer toutes fractions par une somme de fractions unitaires si on autorise la répétition.
-
- Par exemple :
$$\dfrac37=\dfrac17+\dfrac17+\dfrac17$$
Mais si l'on exige que tous les dénominateurs soient distincts, comme le faisaient les Égyptiens, cela est moins aisé.
On dispose cependant d'un égalité bien pratique que connaissait dès 1202, le grand mathématicien italien du Moyen Âge Leonardo Fibonacci : (pour n strictement positif)
Ainsi, en appliquant la formule ci-dessus avec \(n=5\) par exemple on a :
$$\begin{align}\dfrac15&=\dfrac16+\dfrac{1}{5\times6}\\\dfrac15&=\dfrac16+\dfrac{1}{30}\end{align}$$
Et donc on peut conclure que :
$$\begin{align}
\dfrac25&=\dfrac15+\dfrac15\\\dfrac25&=\dfrac15+\dfrac16+\dfrac{1}{30}
\end{align}$$
En appliquant le même procédé à chacune des fractions unitaires de la décomposition, \(\dfrac25\) peut donc s'exprimer comme une multitude de fractions égyptiennes.
Par exemple, en décomposant maintenant \(\dfrac{1}{30}\) on obtient :
$$\begin{align}
\dfrac25&=\dfrac15+\dfrac16+\dfrac{1}{30}\\&=\dfrac15+\dfrac16+\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{30\times31}\\\dfrac25&=\dfrac15+\dfrac16+\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{930}
\end{align}$$
Recherche du nombre minimal de fractions dans la décomposition
Ce type de sommes a continué à fasciner nombre de mathématiciens prestigieux du moyen âge à nos jours.
Les mathématicien ont donc cherché nombre minimal de fractions dans la décomposition de \(\dfrac{k}{n}\).
$$\dfrac{k}{n}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} +\cdots$$
- En 1962, le mathématicien américain Solomon W. Golomb démontre que :
Toute fraction irréductible \(\dfrac{k}{n}\) peut se décomposer en une somme d'au plus k fractions unitaires distinctes. [Ref]
Le terme distinctes est essentiel, car sinon la décomposition \(\dfrac{k}{n}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n} +\cdots+\dfrac{1}{n}\), avec \(k\) termes est évidente.
Décomposition des fractions de la forme \(\dfrac{2}{n}\)
Pour \(k=2\) dans la formule précédente, on peut décomposer la fraction en 2 frractions unitaires.
En effet, \(n\) sera impair (car la fraction est irréductible), et on pose alors \(n = pq\) avec :
-
-
- p et q deux entiers différents,
- p = 1 si n est premier,
- p = 1 si n est un carré parfait,
- par parité de n, on a p et q forcément impairs, et on applique la décomposition suivante :
-
Par exemple :
Décomposition des fractions de la forme \(\dfrac{3}{n}\)
Le résultat pour \(k = 3\), donc pour les fractions de la forme \(\dfrac{3}{n}\), est :
- qu'il existe une décomposition à deux termes, si et seulement si le reste de la division euclidienne d'un des facteurs de \(n\) par 3 est 2.
Soit \(n\) a un facteur congru à 2 mod 3, c'est à dire de la forme \(2 + 3k\) où \(k\) est un entier naturel.
Klee et Wagon [KW91] attribuent ce résultat N. Nakayama, mais ils ne fournissent aucune source.
- Dans le cas contraire, le théorème de Solomon W. Golomb prouve qu'il y a une décomposition en au plus \(k = 3\) fractions unitaires disctinctes.
On obtient par exemple :
- \(\dfrac{3}{25}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{25} ~~~~\text{on a : } ~25=5^2 ~\text{et } 5=3\times1+2\)
- \(\dfrac{3}{55}=\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{110} = \dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{220} ~~~~\text{on a : } ~55 = 5\times11 ~\text{et } 5 = 3\times1+2~\text{et } 11 = 3\times3 +2\) .
- \(\dfrac{3}{121}=\dfrac{1}{44}+\dfrac{1}{484} ~~~~\text{on a : } ~121=11^2 ~\text{et } 11=3\times3+2\)
Une preuve de ce théorème est disponible sur le site : http://www.ics.uci.edu
Décomposition des fractions de la forme \(\dfrac{4}{n}\) : la conjecture de Erdos-Strauss
Pour \(k = 4\), le théorème de Golomb nous dit qu'il existe une décomposition en 4 fractions unitaires distinctes, mais 1948, les mathématiciens Erdös et Strauss conjecturent que la fraction \(\dfrac{4}{n}\) peut se décomposer en au plus 3 fractions unitaires (non nécessairement distincts).
Plus formellement, cette conjecture affirme que, pour tout entier \(n\geq2\), il existe des entiers positifs a, b et c tels que :
=> Pour en savoir plus sur la conjecture de Erdős–Straus.
Décomposition des fractions de la forme \(\dfrac{5}{n}\) : la conjecture de Sierpinski
La version de cette conjecture pour \(k = 5\) a été établie par Waclaw Sierpinski, c'est la conjecture de Sierpinski.
Compléments
Une version généralisée de cette conjecture énonce donc que, pour tout \(k\) positif il existe un nombre \(N\) tel que, pour tout \(n\geq N\), il existe une solution en entiers positifs.
et la conjecture complète est due à Andrzej Schinzel.
La table de "deux" du Papyrus de Rhind
Le papyrus de Rhind comportait 87 problèmes, d'arpentage, d'arithmétique ou de géométrie, qui nécessitaient pour leur résolution, de savoir décomposer une fraction de la forme 2/n en somme de fractions unitaires (de numérateur 1).
Plusieurs tables de décomposition étaient à disposition des lecteurs et une de ces tables, la table dite "de deux", se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind.
Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.
- Pour avoir cette table de 2 : Le papyrus de Rhind
L'oeil d'Oudjat ou Oeil d'Horus
Dans l'imagerie de l'Égypte antique, l'Œil Oudjat est un symbole protecteur représentant l'Œil du dieu faucon Horus.
Selon une conjecture, partiellement invalidée, les parties de l'oeil d'Oudjat représenteraient des fractions unitaires.
=> Pour en savoir plus : L'oeil d'Oudja ou oeil d'Horus.
Sources
- [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
- [TanHs30] : Tangente, Histoire des mathématiques de l'Antiquité à l'an Mil, HS n°30, Pole, Paris, 2007.
- [Guedj2] : Denis GUEDJ, L'empire des nombres, Découvertes Gallimard, Sciences.
- Allan Swett home page.
- Allan Swett : résultats de recherches.
- [KW91] : V. Klee and S. Wagon. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Math. Assoc. of America, 1991, pp. 175177 and 206208.
- http://csi.usc.edu/faculty/golomb-pub.html
- Solomon W. Golomb : "An Algebraic Algorithm for the Representation Problems of the Ahmes Papyrus", The American Mathematical Monthly, Vol. 69, No. 8, October, 1962.
