Conjecture de Erdős–Straus

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Conjecture de Erdos–Straus ou Erdős–Straus

En théorie des nombres, la conjecture de Erdős–Straus (ou Erdos–Straus) suppose que pour tout entier \(n \geq 2\), le nombre rationnel \(\dfrac4n\) peut être exprimé comme la somme de trois fractions unitaires. 

Cela permet donc de décomposer 4/n en fractions égyptiennes, et ce, avec le moins de fractions (distinctes) possibles.

Paul Erdös et Ernst G. Straus ont formulé la conjecture en 1948. C'est l'une des nombreuses conjectures émises par Erdős.

Plus formellement, cette conjecture affirme que, pour tout entier \(n \geq 2\), il existe des entiers positifs a, b et c tels que : 

 conjecture erdos

 

  • Par exemple, pour \(n = 5\), il ya deux solutions :

conjecture erdos 4sur5

 

Paul Erdos et Ernst G. Straus

Paul Erdos (1913 – 1996)

Paul Erdos (1913 – 1996)

Paul Erdos (1913 – 1996) était un mathématicien hongrois, installé aux Etats-Unis pendant le seconde guerre mondiale pour fuir les persécutions des Nazis. Il est l'un des mathématicien les plus prolifique de son temps, publiant plus de 1 500 "articles scientifiques".

Ernst Gabor Straus (1922 – 1983)

Ernst Gabor Straus (1922 - 1983)

Ernst Gabor Straus (1922 – 1983) était un mathématicien allemand, installé en 1933 à Jérusalem pour fuir les Nazis, puis aux États-Unis.

=> Biography

 

Les recherches actuelles

Le professeur Allan SWETT, de l'université d'Indianapolis (USA), indique que la conjoncture de Erdos-Strauss, nommée ESC(n), est vraie pour tous les entiers \(n\) de 1 à 1014. Soit pour 100 000 milliards d'entiers !

Évidemment, cela n'est pas suffisant pour prouver qu'elle est vraie pour tous les entiers  \(n\) , la démonstration résiste encore, à ce jour, à tous les mathématiciens.

 

Généralisation

Pour avoir tous les théorèmes de décomposition en fractions unitaires, consultez la page : les fractions égyptiennes.

 

Sources