Histoire.
1770 : LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813)
La première démonstration faisant intervenir l'idée de groupe revient au mathématicien français Joseph Louis LAGRANGE( 1736-1813) en 1770.
Ce dernier cherche à déterminer le degré de l'équation, à coefficients des fractions rationnelles en les polynômes symétriques élémentaires, satisfaite par une équation rationnelle. [Esco] p109
Le mot Groupe : GALOIS Évariste (1811-1832).
C'est le génial mathématicien français Évariste GALOIS (1811-1832) qui utilise pour la première fois le mot groupe.
Il entend par là, ce que nous appelons maintenant, le sous-groupe du groupe des permutations de l'ensemble des racines d'un polynôme.
Ce terme apparait dans :
“Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”
(écrit en 1830 mais publié en 1846) Oeuvres mathématiques. p. 417. Cajori (vol. 2, page 83)
Galois n'a pas besoin de parler d'associativité, d'élément neutre ou d'inverse, seulement de loi interne par la nature même de ce groupe.
Groupe des substitutions.
Le mathématicien anglais CAYLEY Arthur (Richmond 1821-Cambridge 1895) généralise la notion de groupe de substitutions (étudiés par CAUCHY).
Il introduit entre 1849 et 1854 la notion de groupe abstrait avec la définition suivante :
Un groupe abstrait est un ensemble d'opérateurs qui agissent sur des éléments, et tel que le composé de deux d'entre eux est encore dans l'ensemble.
Il en propose comme exemple les quaternions (avec l'addition) et les matrices (avec la multiplication).
On voit bien que la notion de symétrique d'un élément manque dans cette définition qui, passe inaperçue, et il faut attendre le mathématicien allemand KRONECKER Leopold (1823-1891) en 1870 pour avoir une nouvelle tentative de définition abstraite.
La notion de groupe abstrait.
La forme abstraite de la définition du concept de groupe se construit au 20e siècle avec des définitions de Cayley (1854), de Kronecker (1870) de Weber (1882) de Burnside (1897) puis, en 1900 par le peu connu mathématicien américain James Pierpont (1866-1938).
La théorie des groupes est vraiment aboutie avec le livre de Burnside Théorie des groupes d'ordre fini publié en 1897.
Par la suite, l'ouvrage en deux volumes de Heinrich Weber (un étudiant de Dedekind) Lehrbuch der Algebra publié en 1895 et en 1896 est devenu un texte de référence. Ces livres ont influencé la génération suivante de mathématiciens pour faire de la théorie des groupes, sans doute, la théorie la plus importante des mathématiques du 20ème siècle.
C'est d'ailleurs au mathématicien allemand Heinrich WEBER (1842-1913) que l'on doit la définition actuelle de la notion de groupe. [Hauch]p85
Groupe Quotient.
Le terme groupe quotient fut introduit par le mathématicien allemand Otto Ludwig HÖLDER (1859-1937) en 1889, selon un document produit par le mathématicien anglais William Henry YOUNG (1863-1943) en 1893.
Références.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996. p74
- [Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Gallois, Masson, Paris, 1997.
- [Hauch] : B. Hauchecorne, Les mots et les maths, Ellipse, Paris, 2003.
- [Groupe] : Histoire de la théorie des groupes : http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html
