La série harmonique : histoire et preuves de divergence

1. Définition

On note \(H_n\) la somme partielle : \[ H_n = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n. \]

2. Histoire de la série harmonique

2.1. Antiquité

Les Pythagoriciens (VI^e siècle av. J.-C.) observaient déjà l’importance des rapports \(1,\ \dfrac12,\ \dfrac13,\ \dfrac14,\dots\) dans les harmoniques d’une corde vibrante. Le terme « harmonique » vient de là.

2.2. Nicole Oresme (vers 1350)

Nous présentons sa démonstration détaillée dans la section 3.

2.3. Mengoli (1647)

Pietro Mengoli étudie la série harmonique dans son ouvrage Novae Quadraturae Arithmeticae (1647) et remarque sa croissance très lente. Il s’intéresse aussi aux séries \(\sum 1/n^p\), préfigurant les séries p-harmoniques.

2.4. Euler (1734–1735)

En 1735, il obtient également le célèbre résultat \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \] qui ouvrira la voie à l’étude systématique des séries en \(1/n^s\) et à la future fonction zêta de Riemann.

2.5. Cauchy (1821)

3. Nicolas Oresme (1320–1382) et la première preuve de divergence

Nicolas Oresme, évêque de Lisieux, philosophe, astronome et mathématicien, est considéré comme l’un des plus grands savants du XIV^e siècle. Vers 1350, il propose la première démonstration vraiment rigoureuse de la divergence de la série harmonique.

À cette époque, les notions modernes de limite, série, convergence ou même de fonction n’existent pas. Oresme travaille dans un cadre géométrique où les grandeurs sont représentées par des « configurations » (combinaisons de segments et de surfaces). Malgré ce contexte médiéval, sa démarche est d’une étonnante modernité.

3.1. Le cadre : le traité De configurationibus (1351)

La démonstration apparaît dans son traité De configurationibus qualitatum et motuum (vers 1351). Oresme y étudie les grandeurs intensives (force, vitesse, chaleur) à l’aide de « figures » géométriques. Cette approche visuelle l’amène naturellement à considérer des sommes de plus en plus longues de termes de la forme \(1/k\), c’est-à-dire la série harmonique.

3.2. L’idée révolutionnaire : regrouper les termes par blocs

Oresme réécrit la série \[ 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \cdots \] de la manière suivante :

\[ 1 \;+\; \frac12 \;+\; \underbrace{\left(\frac13 + \frac14\right)}_{\text{bloc 3}} \;+\; \underbrace{\left(\frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18\right)}_{\text{bloc 4}} \;+\; \underbrace{\left(\frac19 + \cdots + \frac{1}{16}\right)}_{\text{bloc 5}} \;+\;\cdots \]

Chaque bloc à partir du troisième contient deux fois plus de termes que le précédent.

3.3. Chaque bloc vaut au moins 1/2

Étudions les valeurs minimales de ces blocs :

• Bloc 3 : \[ \frac13 + \frac14 \;\ge\; \frac14 + \frac14 = \frac12. \]
• Bloc 4 : il contient \(\frac15, \frac16, \frac17, \frac18\). Chacun de ces termes est ≥ \(\dfrac18\), donc : \[ \frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18 \;\ge\; 4 \times \frac18 = \frac12. \]
• Bloc 5 : il contient \(\frac19\) à \(\frac{1}{16}\). Chacun ≥ \(\dfrac{1}{16}\), et il y a 8 termes : \[ 8 \times \frac1{16} = \frac12. \]

Pour le bloc numéro \(k\), on a \(2^{\,k-1}\) termes, tous ≥ \(1/2^k\), donc : \[ \text{bloc } k \;\ge\; \frac12. \]

3.4. Conclusion d’Oresme : la série dépasse toute borne

3.5. Résumé

3.6. Remarque moderne (Cauchy 1821)

Le raisonnement d’Oresme permet déjà d’obtenir une estimation logarithmique. Si l’on prend \(n = 2^m\), la relation précédente donne \[ H_{2^m} \;\ge\; \frac{m}{2} + 1 = \frac12 \log_2 n + 1. \] En utilisant le changement de base du logarithme : \[ \log_2 n = \frac{\ln n}{\ln 2}, \] on obtient \[ H_n \;\ge\; \frac{\ln n}{2\,\ln 2}. \]

Deux siècles plus tard, Cauchy puis Euler montreront que la bonne asymptotique est \[ H_n = \ln n + \gamma + o(1), \] ce qui confirme l’intuition d’Oresme sur la croissance lente mais non bornée de la série.

4. Preuve accessible au lycée

Cette preuve n’utilise que des inégalités sur les fractions et un raisonnement par récurrence sur les puissances de 2.

5. Preuve par comparaison intégrale

Perspective historique. Un premier lien « géométrique » entre séries et aires sous une courbe se trouve chez Maclaurin (Treatise of Fluxions, 1742), mais sans critère général. C’est Augustin-Louis Cauchy qui, dans son Cours d’analyse (1821), formule pour la première fois le test intégral moderne, et l’applique explicitement au cas de \(f(x)=1/x\) pour conclure à la divergence de la série harmonique.

6. Condensation de Cauchy

Perspective historique. Le critère de condensation, aujourd’hui appelé test de condensation de Cauchy, apparaît en 1821 dans le Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Cauchy y établit les premiers critères systématiques de convergence des séries à termes positifs, et la divergence de la série harmonique par condensation s’inscrit directement dans ce cadre.

7. Lien avec les suites de Cauchy

7.1. Définition

7.2. Critère de Cauchy

7.3. Application à la série harmonique

Si la série harmonique convergait, la suite des sommes partielles \((H_n)\) serait de Cauchy. Or ce n’est pas le cas.

8. Valeurs numériques de H_n

On rappelle \[ H_n = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n. \] Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs (arrondies à trois décimales).

9. Comparaison numérique : H_n – ln(n)

Pour comprendre l’apparition de la constante d’Euler–Mascheroni, on étudie directement la quantité \[ H_n - \ln n. \] Nous observons comment cette différence se comporte lorsque \(n\) augmente.

10. Constante d’Euler–Mascheroni γ

En étudiant la différence \(H_n - \ln n\), Euler a mis en évidence une nouvelle constante.

10.1. Existence de la limite

10.2. Valeur numérique

La constante vaut approximativement : \[ \gamma \approx 0{,}577\,215\,664\,901. \] On ne sait toujours pas si elle est rationnelle ou irrationnelle, algébrique ou transcendante.

10.3. Quelques écritures de γ

a) Série définissant γ

\[ \gamma = \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac1k - \ln\left(1+\frac1k\right)\right). \]

b) Écriture intégrale (Stieltjes)

\[ \gamma = \int_1^{+\infty} \left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor} - \frac1x\right)\, dx. \]

c) Écriture intégrale sur [0,1]

\[ \gamma = \int_0^1 \left(\frac{1}{\ln x} + \frac{1}{1-x}\right)\,dx. \]

d) Lien avec la fonction zêta

En termes de fonction zêta de Riemann, \[ \gamma = \lim_{s\to 1^+} \left(\zeta(s) - \frac{1}{s-1}\right). \] Cette relation prépare naturellement l’étude des séries en \(1/n^s\).

11. Temps de calcul de H_n pour des valeurs très grandes

Nous avons vu qu’à partir d’un certain rang, la somme harmonique peut être approchée par :

\[ H_n \approx \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2}, \]

où \(\gamma\) est la constante d’Euler–Mascheroni. L’écart entre \(H_n\) et \(\ln n + \gamma\) est très petit, ce qui permet d’estimer \(H_n\) même pour des valeurs gigantesques de \(n\).

Le tableau ci-dessous compare le temps nécessaire pour calculer \(H_n\) en ajoutant les termes un par un (algorithme en \(O(n)\)), pour différentes valeurs de \(n = 10^k\). Les valeurs de \(H_n\) sont obtenues grâce à l’approximation d’Euler–Maclaurin.

Ce tableau montre l’écart immense entre un calcul « force brute » (temps proportionnel à \(n\)) et l’approximation \[ H_n \approx \ln n + \gamma + \frac{1}{2n}. \] Pour \(n = 10^{20}\), il faudrait plus d’un demi-million d’années pour une simple boucle Python, alors que la formule asymptotique fournit la valeur en moins d’une milliseconde.

import time
N = 200_000_000
t0 = time.time()
for i in range(N): pass
t1 = time.time()
print(N/(t1-t0), "itérations/s")
  

import time
import math

def harmonic(n):
    s = 0.0
    for k in range(1, n+1):
        s += 1.0 / k
    return s

if __name__ == "__main__":
    i = 8   # n = 10**i
    n = 10**i
    print(f"Calcul de H_10**{i} ...")
    
    t0 = time.time()
    Hn = harmonic(n)
    t1 = time.time()
    
    print(f"H_10**{i} = {Hn}")
    print(f"Temps écoulé : {t1 - t0:.3f} secondes")

  

#include <stdio.h>
#include <time.h>

double harmonic(unsigned long long n) {
    double s = 0.0;
    for (unsigned long long k = 1; k <= n; k++) {
        s += 1.0 / (double)k;
    }
    return s;
}

int main() {
    unsigned long long n = 100000000UL;  // ajuster ici
    printf("Calcul de H_%llu ...\n", n);

    clock_t t0 = clock();
    double Hn = harmonic(n);
    clock_t t1 = clock();

    double elapsed = (double)(t1 - t0) / CLOCKS_PER_SEC;

    printf("H_%llu = %f\n", n, Hn);
    printf("Temps écoulé : %.3f secondes\n", elapsed);

    return 0;
}
  

gcc -O3 harmonic.c -o harmonic
./harmonic
  

12. Combien de termes pour dépasser une valeur A ?

Grâce à l’approximation \[ H_n \approx \ln n + \gamma, \] on peut estimer pour quelle valeur de \(n\) on obtient \(H_n \ge A\). En première approximation, \[ n \approx e^{A-\gamma}. \]

13. Séries en 1/n^p et ouverture vers la fonction zêta

Les séries de la forme

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p} \]

jouent un rôle central en analyse réelle, en théorie analytique des nombres et en analyse complexe. Elles généralisent la série harmonique (cas \(p = 1\)), dont nous avons établi la divergence. La question naturelle est : pour quelles valeurs de \(p\) la série converge-t-elle ?

Perspective historique. Les séries p-harmoniques apparaissent explicitement dans les travaux de Leonhard Euler au XVIII^e siècle. Entre 1735 et 1740, Euler étudie en profondeur le cas particulier \(p = 2\) et résout le fameux « problème de Bâle », établissant que :

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. \]

Au XIX^e siècle, Augustin-Louis Cauchy systématise l’étude des p-séries dans son Cours d’analyse (1821). Quelques décennies plus tard, Bernhard Riemann (1859) étend ces séries en introduisant la fonction \(\zeta(s)\), liant analyse complexe et théorie des nombres.

Ouverture : vers la fonction zêta de Riemann

Les p-séries s’unifient naturellement dans une fonction plus générale : la fonction zêta de Riemann, définie pour les nombres complexes \(s\) par :

\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{s}}, \qquad \text{pour } \Re(s) > 1. \]

Cette définition englobe les p-séries en permettant des exposants réels ou complexes. Pour \(s = 2\), on retrouve le résultat d’Euler. Riemann montre en 1859 que cette fonction admet un prolongement analytique à tout le plan complexe (sauf en \(s = 1\)) et qu’elle contrôle la répartition des nombres premiers.

L’étude complète de \(\zeta(s)\) et de ses propriétés fait l’objet d’une page dédiée sur ce site .

14. La série harmonique alternée

La « série harmonique alternée » est définie par :

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 - \cdots \]

Contrairement à la série harmonique classique, cette série converge. Elle constitue l’un des exemples les plus connus de convergence conditionnelle : la série converge, mais la série des valeurs absolues diverge.

En appliquant ce critère à \(u_n = 1/n\), on obtient la convergence de la série harmonique alternée. De plus, il est possible de montrer que sa somme vaut :

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2. \]

Perspective historique

Le critère de Leibniz apparaît dans une lettre de Gottfried Wilhelm Leibniz en 1693. Il constitue l’une des premières conditions générales de convergence ne reposant pas sur une majoration par une série plus simple.

La valeur \(\ln 2\) de la série alternée est établie dès le XVIII^e siècle, notamment par Brook Taylor (1715) et Euler, grâce au développement en série du logarithme :

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \quad (|x|<1), \]

ce qui donne, en prenant \(x = 1\), la somme de la série alternée.

La série harmonique alternée est ainsi un exemple fondamental montrant que la convergence d’une série peut dépendre du signe de ses termes, une idée clé en analyse moderne.

15. Sources, bibliographie et documents historiques

Cette section rassemble les principales sources primaires et secondaires utilisées pour la rédaction de cette page : textes originaux d’Oresme, éditions critiques, monographies historiques, ouvrages d’analyse moderne et ressources web fiables.

Cette bibliographie rassemble les sources principales permettant de comprendre la divergence de la série harmonique, la démonstration historique d’Oresme, les développements modernes (Cauchy, Euler) ainsi que la place de cette série dans l’histoire de l’analyse.

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