Terminale : Probabilités conditionnelles et loi binomiale
Le chapitre traite des thèmes suivants : Probabilités conditionnelles, arbres, Epreuves de Bernoulli, loi Binomiale.
Une approche Historique de la notion de probabilités
Naissance d'une notion
Les probabilités sont aujourd'hui l'une des branches les plus importantes et les plus pointues des mathématiques. Pourtant,c'est en cherchant à résoudre des problèmes posés par les jeux de hasard que les mathématiciens donnent naissance aux probabilités.
Le problème initial le plus fameux est celui de la répartition équitable des enjeux d'une partie inachevée, à un moment où l'un des joueurs a un pris un avantage, non décisif évidemment.
Le mathématicien italien Luca Pacioli l'évoque dans son Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportio et Proportionalita, publié en 1494.
Le premier traité de probabilité.
Lors d'un voyage à Paris, le physicien et mathématicien hollandais, Christiaan Huygens, prend connaissance de la correspondance entre les mathématiciens français Fermat (1601-1665) et Pascal (1623-1662). Il étudie ces réflexions et publie un traité sur le sujet en 1657, Tractatus de ratiociniis in aleae ludo (Traité sur les raisonnements dans le jeu de dés). C'est le premier traité consacré à cette nouvelle théorie des probabilités.
Le contenu du livre de Huygens est assez limité mais il y introduit ce qui deviendra la notion d'espérance mathématique.
Il donne une solution au problème du partage des mises, analogue à celle de Pascal. Enfin, il propose à ses lecteurs cinq problèmes relatifs à des lancers de dés, à des tirages dans des urnes, à des tirages de cartes.
Bernoulli et la loi des grands nombres.
Un autre traité, plus complet, sur les probabilités, est l'oeuvre d'un mathématicien suisse, Jakob Bernoulli. Il est publié en 1713.
Cet ouvrage aborde un aspect nouveau, le lien entre probabilités et fréquences en cas de tirages répétés (d'un jeu de pile ou face). Il énonce et démontre la \textit{loi faible des grands nombres} pour le jeu de pile ou face, appelé théorème de Bernoulli.
Une approche Historique de la loi binomiale
La loi binomiale a été introduite par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) qui y fait référence dans son ouvrage Ars Conjectandi publié en 1713.
La loi binomiale a été utilisée par plusieurs scientifiques pour réaliser des calculs dans des situations concrètes. C'est le cas du mathématicien français Abraham de Moivre (1667 - 1754) qui réussit à trouver une approximation de la loi binomiale par la loi normale, il publie d'abord ses résultats en 1733 en latin :
Approximatio ad summam terminorum binomii \((a + b)^n\) in seriem expansi
En 1812, le mathématicien français Pierre-Simon de Laplace (1749 - 1827) reprend ces travaux. En 1909, le mathématicien français Émile Borel ( 1871 - 1956) énonce et prouve, dans le cas de la loi binomiale, la première version de la loi forte des grands nombres.
La loi binomiale apparaît dans de nombreuses applications au 20e siècle : en génétique, en biologie animale, en écologie végétale, pour les tests statistiques, dans différents modèles physiques tels que des réseaux téléphoniques ou le modèle des urnes d'Ehrenfest, etc.
Le nom « binomiale » de cette loi provient de l'écriture du développement du binôme : \((p + q)^n\)
La planche de Galton : les billes rouges (les points rouges sur la figure) empilées dans le bas de l'appareil correspondent à la fonction de masse de la loi binomiale, la courbe bleue correspond à la densité de la loi normale.
T.D. : Travaux Dirigés sur les Probabilités en terminale
- TD n°1 : La loi Binomiale.
Des exercices d'applications directes du cours. - TD n°2 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale au Bac.
Ce TD est composés d'exercices tirés des épreuves du bac. Tous les corrigés sont disponibles sur la page annales du bac .
Cours sur les Probabilités en terminale
- Cours : Le cours de seconde
Définition d'expérience aléatoire, d'évènements, intersection et réunion d'évènements, évènement contraire, équiprobabilités.
- Cours : probabilités conditionnelles et loi binomiale / version élève.
Probabilités conditionnelles et loi binomiale.
- Approche historique : une histoire des probabilités.
- Calculatrices :
- Casio : Loi Binomiale sur Casio .
- Texas : Loi Binomiale sur Texas .
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- Le triangle de Pascal : Calcul des coefficients binomiaux .
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D.S. : Devoirs surveillés de mathématiques
