Le Papyrus de Rhind

Les Égyptiens, vers 1 600 av. J.-C., utilisaient deux systèmes d'écriture.

• L'un, hiéroglyphique, utilisé sur les monuments et les pierres tombales, est d'ordre pictural.
• L'autre, hiératique, une langue en signes cursifs bien plus pratique d'utilisation que les célèbres hiéroglyphes.
  => Pour des compléments, consultez la page : La numération égyptienne.

Cette écriture hiératique prédomine sur les papyrus, qui sont la principale source de renseignements sur les mathématiques égyptiennes. 
Les plus célèbres sont :

• Le Papyrus de Moscou, écrit vers 1 850 av. J.-C et découvert en 1893 par le russe Vladimir Semionovitch Golenichtchev (1856-1947). Conservé au Musée des Beaux-arts de Moscou.
• Le Rouleau de cuir des mathématiques égyptiennes. Mis à plat en 1927, il comporte 26 additions de fractions unitaires. Il est conservé au British Museum de Londres, n° 10 250.
• Et surtout, le célèbre Papyrus de Rhind. Conservé aussi au British Museum de Londres, n° 10 057.

En 1858, Alexander Henry RHIND (1833-1863), un avocat écossais et égyptologue, achète à un antiquaire de Louxor un papyrus récemment découvert dans un petit monument proche du Ramesseum de l'antique Thèbes, aujourd'hui Louxor.
Thèbes est le nom grec (Thebai) de la ville d'Égypte antique Ouaset.

Ce document datant 1650 avant notre ère, serait une copie effectuée par le scribe Ahmès d'un original vieux de deux siècles.
Rhind est mort dans son sommeil à l'âge de 30 ans. Il lègue alors une bibliothèque de 1600 volumes à la Société des Antiquaires d'Ecosse, qui, selon ses dernières volontés, revend le papyrus au British Museum de Londres.
On peut encore y voir aujourd'hui un fragment de 199,5 cm sur 32 cm, dans la salle 90 (Ref. EA 10057).

Écrit en hiératique, le papyrus Rhind comporte une introduction, une table de décomposition de fractions de type 2/n, et une liste de 86 problèmes avec leurs solutions. 

• Au recto, le texte traite de la division : division du nombre 2 par des nombres impairs de 3 à 101, et division des nombres 1 à 9 par 10 ;
• au verso, il donne 87 problèmes avec leur solution : problèmes portant sur les quatre opérations, la calcul des volumes, résolution d'équations, etc.
  => Pour des compléments, consultez la page  : Les fractions égyptiennes.

La table de "deux" du Papyrus de Rhind

Le papyrus de Rhind comportait 87 problèmes, d'arpentage, d'arithmétique ou de géométrie, qui nécessitaient pour leur résolution, de savoir décomposer une fraction de la forme 2/n en somme de fractions unitaires (de numérateur 1). 

Plusieurs tables de décomposition étaient à disposition des lecteurs et une de ces tables, la table dite "de deux", se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.

Par exemple :

• \(\dfrac25=\dfrac13+\dfrac{1}{15}\)
• \(\dfrac27=\dfrac14+\dfrac{1}{28}\) 
• \(\dfrac29=\dfrac16+\dfrac{1}{18}\)
• \(\dfrac{2}{11}=\dfrac16+\dfrac{1}{66}\)
• \(\dfrac{2}{13}=\dfrac18+\dfrac{1}{52}+\dfrac{1}{104}\)
• ...
• \(\dfrac{2}{101}=\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{202}+\dfrac{1}{303}+\dfrac{1}{606}\) 

Voici la table complète : 

Une valeur approchée du nombre pi au dixième par Ahmès !

Dans les problèmes 48 et 50, Ahmès étudie le rapport liant l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire du disque à celle d'un carré équivalent.

En cela, le papyrus Rhind propose une première approche de la célèbre quadrature du cercle, c'est à dire la construction d'un carré de même aire qu'un disque donné.

C'est seulement en 1882 que le mathématicien allemand Ferdinand von LINDEMANN (1852-1939), parvint finalement à démontrer que la quadrature du cercle est impossible.

Le scribe Ahmès utilise alors le carré de côté \(\dfrac{8d}{9}\) où \(d\) est le diamètre du cercle ; en d'autres termes, l'aire d'un cercle de diamètre 9 unités est presque égale à l'aire d'un carré de 8 unités.

$$\pi R^2\approx \Big(\dfrac{16R}{9}\Big)^2$$

Ainsi, on obtient une valeur approchée du nombre pi, au dixième car :

$$\pi\approx \left(\dfrac{16}{9}\right)^2=\dfrac{256}{81}$$

Et donc en utilisant les fractions égyptiennes de numérateur 1

$$\pi\approx \dfrac{256}{81}= 3+\dfrac19+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81} \approx 3,160$$

=> Pour des compléments, consultez la page  : Histoire du nombre pi.

Sources

• British Museum.
• [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
• [TanHs30] : Tangente, Histoire des mathématiques de l'Antiquité à l'an Mil, HS n°30, Pole, Paris, 2007.
• [Guedj2] : Denis GUEDJ, L'empire des nombres, Découvertes Gallimard, Sciences.