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Classes de Quatrième/Troisième (Cycle 4)
Chapitre : diviseurs, multiples et la division euclidienne
L'arithmétique est une branche des mathématiques qui correspond à la science des nombres. Historiquement, elle s'est attachée à étudier les nombres entiers comme les nombres premiers.
T.D. : Travaux Dirigés et ressources
- TD n°1 : Diviseurs, multiples et nombres premiers / version à compléter.
Des exercices posés au brevet avec correction détaillée.
Cours sur les divieurs, multiples et la division euclidienne
- Cours : Le cours complet / version eleve.
Division euclidienne, diviseurs et multiples, nombres premiers.
Vocabulaire in English
D.S. : Devoirs Surveillés de quatrième
Articles Connexes
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Classe de Quatrième
Chapitre : Translations et rotations
T.D. : Travaux Dirigés
- TD n°1 : Les transformations du plan au brevet
Symétrie centrale, axiale, rotation et translation au brevet des collèges.
Cours sur les translations et rotations
- Cours : Les transformations du plan.
Symétrie centrale, axiale, rotation et translation
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Classe de Quatrième
Tous les Devoirs Surveillés (interrogations) et les corrigés
Lire la suite : Quatrième : DS (Devoirs Surveillés) de mathématiques et corrigés
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Classe de Quatrième
Chapitre : Le théorème de Pythagore
Ce chapitre traite d'exercices utilisant le fameux théorème de Pythagore en classe de quatrième avec des exercices tirés du brevet des collèges.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés. Soit : \(BC^2=BA^2+AC^2\).
Approche historique du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore est un théorème mettant en relation les carrés des longueurs d'un triangle rectangle.
Il porte le nom de Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique du 6e siècle av. J.-C. bien que le résultat soit déjà connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie. Il était en fait déjà connu des chinois et des Babyloniens, bien avant Pythagore.
Par contre, ces derniers n'avaient pas conscience que le théorème valait pour tous les triangles rectangles.
La découverte, que ce théorème s'applique à tous les triangles rectangles, fut tellement sensationnelle que 100 bœufs furent sacrifiés en témoignage de gratitude à l'égard des dieux, on appelle cela une hécatombe.
La première démonstration.
Nous devons la première démonstration attestée de la propriété de Pythagore au mathématicien grec Euclide (3e av. JC).
Il s'agit de la proposition 47 du 1er livre des Éléments et de la réciproque, proposition 48, qui terminent ce 1er livre.
Ce théorème compte 370 démonstrations (d'Euclide, des savants chinois, du 20e président des États-Unis, James Abram Garfield en 1876......etc..) faisables en classe de seconde.
Il n'existe aucune preuve que les pythagoriciens en connaissaient une démonstration, et les historiens des sciences pensent généralement que non, bien qu'ils aient conscience de la nécessité d'une preuve.
- Pour en savoir plus : Pythagore et son théorème
T.D. : Travaux dirigés sur le théorème de Pythagore
- Introduction
- Le jigsaw puzzle de pythagore.
- La conjecture du théorème (Fichier Excel)
- TD n°1 : Applications du théorème de Pythagore.
Exercices d'application du théorème de Pythagore, de sa contraposée (contraposition in english) et de sa réciproque (converse in english)
ainsi que des problèmes avec des corrections intégrales et rigoureuses.
- TD n°2 : Exercices du Brevet.
De nombreux exercices du brevet avec correction.
Cours sur le théorème de Pythagore
- Fiche bilan du cours
- Théorème de Pythagore, Rédactions types.
- La racine carrée.
Définition et quelques points au programme.
- Animations
- Puzzle et Pythagore : Une vidéo d'élève (merci à Pierre-Louis)
- Des preuve du Théorème (il y en a 370!)
- Preuve 1 : Mickael Launay
D.S. sur le théorème de Pythagore en 4e
- Le DS de Mathématiques en quatrième : lien
Compléments
- Pour en savoir plus sur Pythagore : Pythagore de Samos, une légende.
- Le théorème de Pythagore : Une approche historique.
- Les triplets pythagoriciens.
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Classe de Quatrième.
Chapitre : Nombres Relatifs, Produits et Quotients
Ce chapitre traite des nombres relatifs. Après l'addition et la soustraction de relatifs vues en classe de cinquième, nous abordons la multiplication et la division des relatifs. Ce chapitre traite plus généralement des opérations liées aux nombres négatifs (nombres réels négatifs).
Définition des entiers relatifs
En mathématiques, un entier relatif est un nombre qui se présente comme un entier naturel auquel on a adjoint un signe positif ou négatif indiquant sa position par rapport à 0 sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… tandis que les entiers négatifs sont leurs opposés : 0, −1, −2, −3…
L'entier 0 lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif.
Un peu d'histoire des relatifs
La première allusion à des nombres négatifs apparaît dans des textes indiens comme l'Arybhatiya du mathématicien indien Âryabhata (476-550) où sont définies les règles d'additions et de soustractions. Les nombres négatifs apparaissent alors comme représentant des dettes et les nombres positifs comme des recettes. Le mathématicien perse Abu l-Wafa (940-998) présente dans ses écrits des produits de nombres négatifs par des nombres positifs.
Cependant le nombre négatif est peu considéré, le genial mathématicien et phycisien René Descartes (1596-1650) parle même de «fausse solution» lorsqu'il en rencontre. Le négatif n'est qu'utilisé que comme une étape de calcul ou dans des cas très précis (dette) mais n'ayant pas de représentation physique clair, il n'a pas de statut légal.
Al Khuwarizmi (783-850) par exemple, dans son ouvrage la Transposition et la réduction préfère traiter 6 types d'équations du second degré au lieu d'envisager des soustractions.
En Europe les nombres relatifs apparaissent tardivement, on attribue en général à Simon Stevin (1548-1620) la fameuse règle des signes pour le produit de deux entiers relatifs. D'Alembert (1717-1783) lui-même dans l'Encyclopédie envisage le nombre relatif comme une idée dangereuse.
L'ensemble des entiers relatif, est noté \(\mathbb{Z}\)
Cette notation viendrait en fait du groupe BOURBAKI en 1969 dans Algèbre, Chapitre 1. La lettre viendrait de Zahl (nombre) et zahlen (compter) de l'allemand.
DEDEKIND Julius Wilhelm Richard (1831-1916) et CANTOR Georg (1845-1918) sont souvent cités mais il semble que le premier utilisait K pour les entiers et J pour les complexes (selon les historiens Walter Felscher, Stacy Langton, Peter Flor, et A. J. Franco de Oliveira).
T.D. : Travaux dirigés de quatrième
- TD n°1 : Additions et soustractions de relatifs.
- TD n°2 : Fiche bilan d'exercices sur le chapitre.
Cours de quatrième
- Cours complet : Additions, soustractions, multiplication et divisions de relatifs.
- Vidéos
- Une première justification de la règle des signe : vidéo 1.
D.S. de quatrième
- Les devoirs surveillés (ds) de mathématiques : Ds de quatrième