Les relations de Chasles

• Pour les vecteurs
  Soit A, B et C trois points d'un espace affine :

$$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$$

• Pour les angles de vecteurs
  Soit \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs d'un plan vectoriel euclidien orienté :

$$\widehat{(\vec{u}~,~\vec{v})}+\widehat{(\vec{v}~,~\vec{w})}=\widehat{(\vec{u}~,~\vec{w})}$$

• Pour les intégrales
  Soient des réels \(a\), \(b\) et \(c\) et une fonction \(f\) intégrable sur les segments considérés :

$$\int_a^{b} f(x) dx + \int_b^{c} f(x) dx = \int_a^{c} f(x) dx$$

Histoire de la relation de Chasles

Chasles expose la relation qui porte son nom à la page 46/643 de son Traité de géométrie supérieure (1852) qui est disponible sur le site de la BNF (Gallica).

Chasles notait ab le segment orienté d'origine a, d'extrémité b et posait ba = -ab en énonçant :

Pour trois points a, b et c d'une même droite, la relation : ab + bc + ca = 0