Les Fractions : Origines et symboles

Définition actuelle

Une fraction est un nombre appartenant à un ensemble, le corps des rationnels et noté Q.
Une fraction est en fait le quotient de deux nombres entiers, a divisé par b (avec b non nul), on la note : 

• • Le nombre a sera appelé numérateur et b dénominateur.
  • Une fraction dont le numérateur a est 1 est appelée fraction unitaire (cf. les fractions égyptiennes).
  • Compléments sur les opérations => Fiche de cours de collège.

Origines et notations 

Les premières civilisations anciennes qui nous ont laissé des sources permettant d'analyser assez justement leurs connaissances mathématiques sont les civilisations babylonienne (de -5 000 ans au début de notre ère) et égyptienne.
Toutes deux connaissaient et utilisaient les fractions.

1. Les babyloniens : Les premières fractions.

La numération que forgèrent les mathématiciens et astronomes de Babylone un peu avant l'époque du roi Hammourabi (environ 1792-1750 av.J.-C.) était une numération de position en base 60. (=> La numération babylonienne)

La valeur du symbole dépendait de sa position dans le nombre, comme dans la numération décimale indienne que nous utilisons actuellement.
Il leur était facile d'écrire des fractions. 

• Par exemple : Ce nombre a été trouvé sur une tablette babylonienne ancienne de la collection Yale. 

Il s'agit d'une approximation de la racine carrée de deux.
Les symboles uitilisés sont 1, 24, 51, et 10.
En base 60, ou sexagésimal, ce nombre est donc :  1 × 60⁰ + 24 × 60^-1 + 51 × 60^-2 +  10 × 60^-3, soit environ 1,414222.

Le système de numération babylonienne n'était pas un pur système de position en raison de l'absence d'un symbole pour le zéro.
Dans les tablettes anciennes, un espace a été placé dans l'endroit approprié dans le nombre, puis, un symbole pour le zéro semble apparaitre dans des tablettes plus récentes.

2. Les fractions égyptiennes

En dehors des entiers, les égyptiens ne concevaient que des fractions unitaires, c'est à dire des fractions de numérateur 1.
Ils admettaient que des fractions puissent avoir un numérateur différent de 1, ils refusaient de les manipuler et de calculer avec.
[...]

=> Consultez la page : Les fractions égyptiennes

3. Origine de la notation

Fractions ordinaires sans la barre horizontale

• Selon l'historien David Eugene Smith ^{[Smith2], page 215}, il est probable que notre méthode d'écriture des fractions ordinaires soit essentiellement due aux travaux des Hindous, bien qu'ils n'aient pas utilisé la barre horizontale.
  Par exemple, les mathématiciens indiens Brahmagupta (Multân, 598–668) et Bhaskara (vers 1150) ont écrit des fractions comme nous le faisons aujourd'hui, mais sans la barre. ^[CajoV1]
  
  

Fractions ordinaires avec la barre horizontale

• La barre de fraction horizontale a été introduit par les mathématiciens Arabes.

"Les Arabes d'abord copié la notation hindoue, mais plus tard il l'ont modifiée en insérant une barre horizontale entre les deux nombres"
D'après l'historien BURTON David.

Plusieurs sources attribuent la barre de fraction horizontale au mathématicien marocain AL-HASSAR Abu Bakr (vers 1200).
F. Cajori [CajoV1] p269 précise que AL-HASSAR, pour signifier trois cinquièmes et un tiers de cinq, utilisait la notation :

3 1
5 3

• Le célèbre mathématicien italien FIBONACCI (1175 - 1250) a été le premier mathématicien européen à utiliser la barre de fraction telle qu'elle est utilisée aujourd'hui.
  Il a suivi la pratique arabe en plaçant la fraction à gauche de l'entier ([CajoV1], page 311).
  
  
• La barre horizontale se trouve généralement dans les manuscrits latins du Moyen Âge tardif, mais lorsque l'impression a été introduite, elle fut souvent omise sans doute à cause des problèmes typographiques liés à son utilisation.
  Ceci est confirmée par l'ouvrage "künstliche Rechnung" (1526) du mathématicien allemand RUDOLFF Christoff (Jauer, Prusse 1500 - Vienne vers 1545).
  Il y omet la barre dans toutes les fractions ordinaires mais elle est présente dans les fractions imprimées en gros caractères et les nombres ayant de grande taille ([Smith2] , page 216).
  
  
• Michael Closs souligne que si l'on définit une barre de fraction horizontale à une ligne horizontale qui sépare le numérateur du dénominateur et les délimite en tant que telle, alors ce type de notation a été utilisé avec exactement cet effet plus d'un millénaire avant al-Hassar.
  Richard A. Parker écrit que dans trois papyrus datant du IIIe siècle avant J.-C. à la période romaine

"Le numérateur est inscrit en premier, et le dénominateur suit sur la même ligne.
Dans les problèmes 2, 3, 10 et 13 (le papyrus du Caire) le numérateur est souligné. Dans les problèmes 51 et 72 le dénominateur est souligné."

Sources

• [CajoV1] : Florian CAJORI, History of mathematicals notations, Volume 1, Cosimo, New York, 2007 (réed. de l'édition de 1929).