L'hypothèse du continu.

En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu attribuée au mathématicien allemand CANTOR Georg (1845-1918) peut s'énoncer sous cette forme :

• Il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels.

CANTOR, considéré comme le fondateur de la théorie des ensembles, avait démontré (et publié en 1874) que le cardinal de l'ensemble des nombres réels était strictement plus grand que celui des nombres entiers. Il formula plus tard cette hypothèse, et il tenta en vain de la démontrer.

Génèse de l'hypothèse du continu.

Aleph zéro : l'alphabet hébreu.

• CANTOR définit ℵ₀ (aleph zéro) comme le cardinal de l'ensemble des entiers naturels IN.
  Il utilise pour nommer ce cardinal, la première lettre de l'alphabet hébreu, Aleph, notée ℵ.
  De valeur 1 dans le système de numération hébraïque, elle signifie étymologiquement taureau ou bœuf et son origine remonterait à l'alphabet phénicien.

• ℵ₀ : Le cardinal de IN.
  CANTOR prouve que ℵ₀ : Le cardinal de IN, est le plus petit cardinal transfini.
  
  
• Card IR = 2^ℵ_0.
  CANTOR montre que le cardinal de IR est c = 2^ℵ₀ (c pour continium)
  
  

L'hypothèse du continue.

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CANTOR Georg (1845-1918) déduit alors que le plus petit des cardinaux strictement plus grand que ℵ₀, qu'il note ℵ₁, est inférieur ou égal au cardinal c de IR.
Il conjecture alors qu'il y a égalité et que donc : c = card IR = 2^ℵ₀ = ℵ_1.
C'est ce que l'on nomme, hypothèse du continu.

En termes plus simples, l'hypothèse du Continu dit que :

• • • Toute partie de IR est soit au plus dénombrable, soit équipotente à IR.

En termes intuitifs (!) : 

• • • Il n'existe pas d'ensemble "strictement plus grand" que IN mais "strictement plus petit" que IR.
      Comprendre "plus grand" dans le sens, "de cardinal plus grand" !

La démonstration négative !

La démonstration de cette conjecture est le premier des 23 fameux problèmes de HILBERT.

La réponse négative ne viendra que bien plus tard, par la conjonction des résultats de GODEL (1940) et de COHEN (1963).

Paul Cohen, en se basant sur les travaux de Gödel, montra en 1963 que cette conjecture était indécidable.
Hilbert rattache ce problème à la question suivante : Prouver que l'ensemble des nombres réels peut être bien ordonné. 

Ernst Zermelo prouva que l'existence de ce bon ordre est équivalent à l'axiome du choix de Zermelo.
Ainsi, le prouver revient à accepter cet axiome, ce que nombre de mathématiciens refusèrent. Alors que Hilbert pensait que ces deux problèmes étaient liés, Cohen prouva qu'ils étaient indépendants en montrant que l'hypothèse du continu de Cantor était indécidable.

Le fait de savoir si Card IR = aleph₁ est donc indécidable d'après la construction de IR seule. 
C'est à dire qu'on peut arbitrairement décider que oui ou non.

Habituellement, on fait l'hypothèse que c'est bien le cas (hypothèse du Continu) : aleph₁ = ℵ₁ = Card IR.

Il semble avéré que c'est en essayant en vain de résoudre ce problème que CANTOR plongea dans la dépression.

=> Pour en savoir plus sur ce mathématicien d'exception : CANTOR Georg (1845-1918).

Articles Connexes 

• CANTOR Georg
• Les Problèmes de HILBERT
• L'infini

Références.

• [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
• [Hauch2] : B. Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques, Ellipse, Paris, 1988 (et nouvelle édition en 2007).