CANTOR Georg (1845-1918)
Né le 3 mars 1845, Saint-Pétersbourg (Russie) – mort le 6 janvier 1918, Halle, Allemagne.
Sa vie.
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor est né à Saint-Pétersbourg en Russie, d'un père danois et d'une mère autrichienne.
Cantor fit ses études universitaires d'abord à Zürich (Allemagne), puis à Berlin, où WEIERSTRASS fut son professeur en analyse, KUMMER en arithmétique et KRONECKER en théorie des nombres.
Il passe un semestre à l'université de Gottingen avant de soutenir sa thèse en 1867, qui constitue selon les spécialistes, l'un des derniers textes mathématiques écrits en latin : In re mathematica ars propendi pluris facienda est quam solvendi.
A partir de 1869, Cantor enseigna à l'Université de Halle.
Il fonda, en 1890, la Société des mathématiciens allemands et devint son premier président ; en 1897, il organisa le premier Congrès international de mathématiciens, à Zürich.
Dès 1884, il souffrit sporadiquement de dépressions profondes et il est mort à la clinique psychiatrique de l'Université de Halle.
Remarque : il est né et mort les mêmes années que le célèbre mathématicien italien Ulisse DINI (1845 - 1918)
Ses travaux : La génèse.
Des séries de Fourier aux ensembles.
Rapidement, CANTOR s'intéresse à la théorie des nombres mais HEINE Heinrich Eduard (1821-1881) l'encourage à étudier les séries de Fourier très en vogue à l'époque.
Il démontre alors que : Si une fonction est égale en tout point à la somme d'une série trigonométrique, celle-ci est unique.
Il cherche alors à généraliser ce résultat à certains types d'ensembles infinis, et c'est alors que commence son intérêt pour les ensembles.
Il définit les points limites d'un ensemble, qui constituent ce qu'il nomme l'ensemble dérivé. Puis, en réitérant le procédé, il obtient les ensembles dérivés d'ordre 2, 3, ..., n.
Ce travail l'amène, d'un part à réfléchir sur les ensembles infinis, d'autres parts à imaginer une construction du corps IR des nombres réels.
De la construction de IR à la théorie des ensembles.
Les nouvelles avancées en analyse induisent la nécessité de clarifier la construction du corps IR des nombres réels.
Ainsi, presque simultanément, quatre monstres sacrés, publient sur le sujet.
WEIERSTRAS (1863, publication en 1872), MERAY (1869), DEDEKIND (1872) et CANTOR (1872) proposent alors des constructions des nombres réels qui, s'ils elles diffèrent quelques peu, ont en commun l'utilisation de notions ensemblistes.
La correspondance avec DEDEKIND Julius Wilhelm Richard (1831-1916).
Lors d'un voyage avec sa femme à Interlaken en 1872, CANTOR rencontre Richard DEDEKIND. C'est de leurs échanges épistolaires que naît la fameuse théorie des ensembles.
La théorie des ensembles : Découvertes et théorèmes !
- \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{N}\) sont équipotents (1873) : A la fin de l'année 1873, CANTOR constate que l'ensemble des rationnels \(\mathbb{Q}\) est équipotent à l'ensemble des naturels \(\mathbb{N}\).
C'est à dire qu'il existe une bijection entre les deux ensembles. - \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{R}\) ne sont pas équipotents (7 et 9 décembre 1873) : Dans une lettre adressée à DEDEKIND, il démontre que \(\mathbb{R}\) n'est pas équipotent à \(\mathbb{N}\) et en conclut :
Il y a plusieurs infinis ! - \(\mathbb{R}^{n}\) et \(\mathbb{R}\) en correspondance biunivoque (25 juin 1877) :
A son grand étonnement, il démontre dans une lettre à DEDEKIND du 25 juin 1877 que l'on peut mettre \(\mathbb{R}^{n}\) en correspondance biunivoque avec \(\mathbb{R}\).
Ce résultat le surprend tellement qu'il supplie DEDEKIND (lettre du 29 juin) de lui confirmer la validité d ela démonstration.
Tant que vous ne m'aurez pas approuvé, je ne puis que dire : "Je le vois mais ne le crois pas". (En français dans le texte)
- Card(E) et P(E).
CANTOR montre que le cardinal des parties d'un ensemble E vaut :
$$Card~P(E) = 2^{ card(E)}$$
- Le théorème de CANTOR :
Pour tout ensemble E, le cardinal de E est strictement plus petit que celui de l'ensemble P(E) des parties de E.
Soit : Card E < Card P(E) = 2card(E)
L'hypothèse du continu.
- CANTOR définit ℵ0 (aleph zéro) comme le cardinal de l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\).
- ℵ0 : Le cardinal de \(\mathbb{N}\) : CANTOR prouve que ℵ0 : Le cardinal de \(\mathbb{N}\), est le plus petit cardinal transfini.
- Card IR = 2ℵ0 : CANTOR montre que le cardinal de \(\mathbb{R}\) est c = 2ℵ0 (c pour continium)
- L'hypothèse du continu.
CANTOR déduit alors que le plus petit des cardinaux strictement plus grand que ℵ0, qu'il note ℵ1, est inférieur ou égal au cardinal c de IR.
Il conjecture alors qu'il y a égalité et que donc : c = card IR = 2ℵ0 = ℵ1.
C'est ce que l'on nomme, hypothèse du continu.
En gros, il n'y aurait pas de cardinal entre celui de \(\mathbb{N}\) et celui de \(\mathbb{R}\).
- La démonstration négative !
La démonstration de cette conjecture est le premier des problèmes de HILBERT.
La réponse négative ne viendra que bien plus tard, par la conjonction des résultats de GODEL (1940) et de COHEN (1963).
Paul Cohen, en se basant sur les travaux de Gödel, montra en 1963 que cette conjecture était indécidable. Hilbert rattache ce problème à la question suivante : prouver que l'ensemble des nombres réels peut être bien ordonné.
Ernst Zermelo prouva que l'existence de ce bon ordre est équivalent à l'axiome du choix de Zermelo. Ainsi, le prouver revient à accepter cet axiome, ce que nombre de mathématiciens refusèrent. Alors que Hilbert pensait que ces deux problèmes étaient liés, Cohen prouva qu'ils étaient indépendants en montrant que l'hypothèse du continu de Cantor était indécidable.
Il semble avéré que c'est en essayant en vain de résoudre ce problème que CANTOR plongea dans la dépression.
=> Compléments sur l'hypothèse du continu.
Paradoxe de CANTOR et controverse.
Le paradoxe de CANTOR est le suivant :
-
- Considérons l'ensemble E de tous les ensembles.
- Tout ensemble étant une partie de E, le cardinal de E est le plus grand des cardinaux.
- Or l'ensemble des parties de E a d'après le théorème de CANTOR un cardinal strictement plus grand car : Card E < Card P(E) = 2card(E)
- Considérons l'ensemble E de tous les ensembles.
Les travaux révolutionnaires de Cantor sont très controversés.
Le premier de ses opposants est KRONECKER mais POINCARE, KLEIN et WEYL le critiquent aussi.
L'apparition des paradoxes en 1897 accentue encore la controverse et la réaction prend un caractère dramatique.
Compléments : Convergence uniforme et Continuité.
Après l'introduction de la convergence uniforme et la mise en évidence du transport de la propriété de continuité, les mathématiciens du 19ème siècle se sont interrogés sur la réciproque : Si la limite d'une suite de fonctions continues est continues, la convergence est-elle uniforme ?
Beaucoup pensent l'avoir démontré mais, en 1880, le célèbre mathématicien Georg CANTOR (1845-1918) met tout le monde d'accord en exhibant un contre-exemple resté célèbre.
- => Pour en savoir plus : La convergence uniforme.
Articles Connexes
Bibliographie.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
- [Hauch2] : B. Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques, Ellipse, Paris, 1988 (et nouvelle édition en 2007).
