Explication mathématique des erreurs commises
Petit rappel de pourcentages
Faire une augmentation de 6%
Effectuer une augmentation de 6% d'un nombre N c'est y ajouter 6% de ce nombre soit :
$$\begin{align*} N+6\%N&=N+\frac{6}{100}\times N\\&= N+0,06\times N\\&=1,06N\end{align*}$$
Donc faire une augmentation de 6%, c'est multiplier le nombre par 1,06
Faire une augmentation de 6% chaque année pendant 5 ans
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- En 2012 : N
- En 2013 : \(N\times 1,06\)
- En 2014 : \( \left( N \times 1,06 \right) \times 1,06=N \times 1,06^{2}\)
- En 2015 : \( \left( N \times 1,06^{2} \right) \times 1,06=N \times 1,06^{3}\)
- En 2016 : \( \left( N \times 1,06^{3} \right) \times 1,06=N \times 1,06^{4}\)
- En 2017 : \( \left( N \times 1,06^{4} \right) \times 1,06=N \times 1,06^{5}\)
Donc au bout de 5 ans, le nombre initial \(N\) aura été multiplié par
$$ 1,06^{5} \approx 1,3382255776$$
Et puisque
$$ 1,06^{5} \approx 1+\frac{33,82}{100} \approx 1+ 34\%$$
on peut affirmer que le nombre \(N\) a subi une augmentation d'environ 34%.
Le journaliste de France 2 a donc commis une erreur de raisonnement assez étonnante pour un économiste.
Remarque : L'erreur commise sur le taux n'est pas de 4% mais de presque 12%.
En effet, l'erreur est d'environ 4 points sur 34 soit
$$ \text{Erreur = } \frac{4}{34}\approx 0,1176 \approx 11,8\% $$
Que dire du calcul relatif aux factures ?...
