Bonne année 2019
2019 quelques propriétés de cet entier naturel
Le site Math93.com vous souhaite une heureuse, chaleureuse et studieuse année 2019. Profitons-en pour revenir sur quelques caractéristiques de ce nombre impair.
Ecriture
Cet entier s'écrit en :
Français : Deux-mille-dix-neuf / Anglais : Two thousand nineteen or twenty nineteen / Allemand : Zweitausend und neunzehn / Espagnol : Dos mil diecinueve / Italien : duemila e diciannove / Portugais : dois mil e dezenove
L'année 2019
2019 est une année qui comme toutes les années non-bissextiles, compte 365 jours (52 x 7 + 1) donc 52 semaines plus 1 jour.
De sorte que le premier jour et le dernier de l'année tombent le même jour de la semaine: un mardi.
Diviseurs de 2 019
- Diviseurs
L'entier impair 2019 n'admet que 4 diviseurs qui sont : 1, 3, 673 et 2 019. De ce fait, cet entier n'est pas nombre premier.
$$\begin{cases}2019=1\times2019 \\ 2019=3\times673\end{cases}$$
- La précédente année première était 2017 et la prochaine année première sera 2027.
- Décomposition en facteurs premiers
$$2 019 = 3 \times 673$$
2019 et quelques décompositions
- Différence de deux carrés
Tous les nombres impairs peuvent s'exprimer sous cette forme de différence de carrés de nombres consécutifs.
$$2~019 = 1010 + 1009 = 1010^2 – 1009^2$$ - Somme de 3 entiers consécutifs
2019 est somme de trois nombres consécutifs puisqu'il est divisible par 3.
$$\begin{align*}2~019&=3\times 673 = 673+673+673= (673-1) + 673 + (673+1)\\2~019&= 672+673+674\end{align*}$$
2019 nombre déficient (deficient number)
Un nombre déficient est un nombre qui est supérieur à la somme de ses diviseurs propres, c'est à dire ses diviseurs autre que lui-même :
$$2019>1+3+673=677$$
2019 Nombre équidigital (equidigital number)
Un nombre équidigital est un entier naturel qui a autant de chiffres dans son écriture que dans sa décomposition en facteurs premiers, exposants différents de 1 inclus. Par exemple, en base 10, les nombres 1, 2, 3, 5, 7, 10 (10 = 2 × 5) sont des nombres équidigitaux. Par définition, tous les nombres premiers sont équidigitaux dans toute base.
$$2019=3\times 673$$
Sa factorisation nécessite autant de chiffres (3, 6, 7 et 3) que pour son écriture (2, 0, 1 et 9)
2019 Somme de deux carrés ?
Le nombre 2019 est un entier qui ne peut pas s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits.
Théorème des deux carrés (cas général) —
Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme \(4k + 3\) intervient à une puissance paire.
En particulier, la décomposition est unique lorsque l'entier ne possède aucun facteur premier de la forme \(4k + 1\), ou alors un seul et avec exposant 1.
Une autre expression équivalente du nombre de décompositions a été donnée par le mathématicien Charles Gustave Jacob Jacobi (1804-1851). On dispose d'un autre théorème dont une preuve exposée sur ce poly (niveau supérieur) :
Tout nombre premier impair est somme de deux carrés d'entiers si et seulement s'il est congru à 1 modulo 4
L'intérêt pour les sommes de carrés remonte à l’Antiquité : on trouve de telles sommes dans des tablettes en cunéiforme du début du 2e millénaire avant notre ère et deux propositions dans les Éléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme ou la différence forment encore des carrés parfaits, ou au contraire comment ne pas obtenir un carré en sommant deux carrés.
2019 n'est pas congru à 1 modulo 4 puisque
$$2019=4\times504+3$$
2019 Somme de carrés
- Sommes de carrés de premiers
2019 est six fois somme de trois nombres premiers au carré.
$$\begin{align*}
2 019 &= 7^2 + 11^2 + 43^2 \\&= 7^2+ 17^2 + 41^2\\&= 11^2 + 23^2 + 47^2\\ &= 13^2 + 13^2 + 41^2 \\&= 17^2 + 19^2 + 37^2\\2019&= 23^2 + 23^2 + 31^2\end{align*}$$
- Sommes de carrés d'entiers
2019 n'est jamais somme de deux carrés mais de nombreuses fois somme de trois carrés.
$$2 019 = 1^2 + 13^2 + 43^2 = 5^2 + 25^2 + 37^2= 23^2 + 23^2 + 31^2 = ...$$
Curiosités de 2019
$$2 019 = 1^4 + 2^4 + 3^4 + 5^4 + 6^4$$
