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Identité de Newton – Sommes de puissances et racines de polynômes

L’identité de Newton (ou formules de Newton-Girard) relie les sommes des puissances des racines d’un polynôme à ses coefficients. C’est une technique classique utilisée pour retrouver ou anticiper des puissances élevées sans connaître explicitement les racines.

IsaacNewton

Isaac Newton (4 janvier 1643 – 31 mars 1727 )

1. Définition générale

Soit un polynôme :

$P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$

On note ses racines $r_1, r_2, \ldots, r_n$ , et les puissances :

$S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k$

Alors pour tout entier $k \geq 1$ , la formule de Newton donne :

$S_k + a_1 S_{k-1} + a_2 S_{k-2} + \cdots + a_{k-1} S_1 + k a_k = 0$

2. Exemple

Soient $a, b, c$ trois nombres réels tels que :

$a + b + c = 1$
$a^2 + b^2 + c^2 = 2$
$a^3 + b^3 + c^3 = 3$

On pose $S_n = a^n + b^n + c^n$ . Pour relier les $S_n$ , on suppose que $a, b, c$ sont racines d’un polynôme de degré 3 :

$P(x) = x^3 - p x^2 + q x - r$

Par les formules de Viète, on sait alors que :

$p = a + b + c$
$q = ab + bc + ca$
$r = abc$

Les sommes $S_n$ vérifient pour tout $n \geq 3$ la relation de récurrence :

$S_n = p S_{n-1} - q S_{n-2} + r S_{n-3}$

soit ici

$\boxed{ S_n = (a + b + c) \times S_{n-1} - ( ab + bc + ca) \times S_{n-2} + abc \times S_{n-3} }$

Détermination des coefficients

À partir de $a + b + c = 1$ , on a directement $p = 1$ .

Ensuite, on utilise :

$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$

D’où : $2 = 1^2 - 2q \quad \Rightarrow \quad q = -\frac{1}{2}$

Puis avec : $a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)^3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc$

On obtient : $3 = 1^3 - 3 \cdot 1 \cdot (-\tfrac{1}{2}) + 3r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{1}{6}$

Récurrence finale

La relation entre les $S_n$ devient donc :

$S_n = S_{n-1} + \frac{1}{2} S_{n-2} + \frac{1}{6} S_{n-3}$

Calculs explicites

On connaît :

$S_1 = 1$
$S_2 = 2$
$S_3 = 3$

On en déduit :

$S_4 = 3 + \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{6} \times 1 = 3 + 1 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6}$

$S_5 = \frac{25}{6} + \frac{1}{2} \times 3 + \frac{1}{6} \times 2 = \frac{25}{6} + \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{36}{6} = \boxed{6}$

Conclusion : $\boxed{a^5 + b^5 + c^5 =6}$

3. Tableau de récurrence des identités de Newton

Les identités de Newton, également appelées formules de Newton-Girard, établissent une relation entre les sommes des puissances des racines d'un polynôme et ses coefficients. Ces relations permettent de calculer les sommes $S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k$ sans connaître explicitement les racines $r_i$ .

Considérons un polynôme unitaire de degré $n$ :

$P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$

Soient $r_1, r_2, \ldots, r_n$ les racines de $P(x)$ . On définit :

$S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k$

Les identités de Newton établissent que, pour tout entier $k \geq 1$ :

$S_k + a_1 S_{k-1} + a_2 S_{k-2} + \cdots + a_{k-1} S_1 + k a_k = 0$

avec la convention que $a_j = 0$ pour $j > n$ .

Relations pour les premières valeurs de $k$

Ordre $k$	Formule de Newton
1	$S_1 + a_1 = 0$
2	$S_2 + a_1 S_1 + 2a_2 = 0$
3	$S_3 + a_1 S_2 + a_2 S_1 + 3a_3 = 0$
4	$S_4 + a_1 S_3 + a_2 S_2 + a_3 S_1 + 4a_4 = 0$

Exemple d'application

Considérons le polynôme :

$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Les coefficients sont :

$a_1 = -6$
$a_2 = 11$
$a_3 = -6$

Calculons $S_1$ :

$S_1 + a_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad S_1 = -a_1 = 6$

Puis $S_2$ :

$S_2 + a_1 S_1 + 2a_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad S_2 = -a_1 S_1 - 2a_2 = -(-6)(6) - 2(11) = 36 - 22 = 14$

Et $S_3$ :

$S_3 + a_1 S_2 + a_2 S_1 + 3a_3 = 0$ $S_3 = -a_1 S_2 - a_2 S_1 - 3a_3 = -(-6)(14) - 11(6) - 3(-6) = 84 - 66 + 18 = 36$

Ces relations permettent de calculer les $S_k$ de manière récursive, en utilisant les coefficients du polynôme et les valeurs précédemment calculées de $S_j$ pour $j < k$ .

4. Anecdotes sur Newton

Isaac Newton a développé ces formules en lien avec ses travaux sur les suites symétriques.
Il a aussi écrit des textes sur l’alchimie, la Bible, et l'optique.
Il a dirigé la Royal Society et inventé un télescope à miroir révolutionnaire.
En 1668, Newton invente le premier télescope à miroir, dit télescope de Newton, pour corriger les défauts des lunettes astronomiques. Présenté à la Royal Society en 1672, cet instrument révolutionne l'observation astronomique en utilisant la réflexion plutôt que la réfraction.

Newton telescope replica 1668

Une réplique du télescope réflecteur que Newton présenta à la Royal Society en 1672
(le premier qu’il fabriqua en 1668 fut prêté à un fabricant d’instruments, mais on ne sait pas ce qu’il est devenu par la suite)