Le symbolisme algébrique : L'usage des lettres.

Dès l'antiquité, on faisait un usage systématique des lettres en géométrie pour désigner des indéterminées comme des points ou des droites, etc., c'est à dire des grandeurs qui ne sont pas inconnues mais seulement données de façon non spécifiée.

Du côté de l'arithmétique et de la théorie des équations, quelques traces d'abréviations symboliques sont très anciennes (signes pour la soustraction et l'addition chez les Égyptiens et chez Diophante) mais le caractère rhétorique de l'algèbre prédomine largement en particulier chez les Arabes en dépit du haut niveau de technicité de leur calcul algébrique.

On peut distinguer deux processus :

• d'une part, inventer des notations maniables pour les 4 opérations de l'arithmétique avec des conventions permettant de pouvoir structurer une suite d'opérations ;
• d'autre part, inventer des symboles pour l'inconnue et ses puissances et former des sommes algébriques avec ses symboles.

En Algèbre, l'usage des lettres est apparu dès le début du 16ème siècle.

MAUROLICO, dit Francesco de Messina en fait usage mais sans calculer avec elles et, s'il fait des additions et des multiplications, il introduit une nouvelle lettre à chaque fois.

Une importante innovation est l'utilisation des lettres capitales A, B, C,... pour désigner l'inconnue.
On trouve cela, à des variantes près chez l'Allemand STIFEL en 1544, le Français Jacques Peletier en 1554, et très clairement chez Jean Borrel, un homme d'église connu sous le nom latinisé de Butéo, qui publie en 1559 logistica quae et arithmetica Vulgo dicitur.

C'est à cette époque que la manipulation de certaines expressions algébriques à une ou plusieurs inconnues désignées par des lettres devient plus familière. C'est ce que l'on a appelé l'algèbre numéreuse.

Cependant, la mutation la plus fondamentale viendra de François Viète (1540-1603).
Il désigne par des lettres non seulement les inconnues et les puissances des inconnues, ce qui était déjà une habitude, mais aussi les coefficients indéterminés (ce que l'on avait fait en géométrie dans l'Antiquité).
Il réserve pour les grandeurs connues indéterminées les consonnes B, C, D..et pour les inconnues les voyelles A, E, O..
Viète réalise des progrès très nets en matière de calcul algébrique et d'applications de celui-ci à la géométrie des Grecs. Les problèmes classiques du second degré et du troisième degré sont traités, ainsi que nombre de problèmes de degré supérieur.
(La dernière proposition du traité de Viète (l'art analytique) fonde véritablement la théorie des équations en donnant les relation entre coefficients (le terme est de lui) et les racines.).

Les mathématiciens de la première moitié du 17ème siècle (Harriot et Albert de Girard) simplifieront les notations de Viète et avec Descartes (1596-1650), elles auront à peu près atteint leur forme actuelle (des notations diffèrent pour les puissances, le signe d'égalité et la multiplication). ( Pour plus de précisions sur les équations).

Exemples de notations

Bibliographie : 

[DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986. p 109