Terminale Spécialité Mathématiques
Les démonstrations au programme
- Manuel utilisé au lycée V. Duruy : Bordas - Collection Indice - Référence : 9782047337646.
- Le programme de terminale : https://eduscol.education.fr.
Les démonstrations de Tle spécialité Maths
Démontrer est une composante fondamentale de l’activité mathématique. Le programme propose quelques démonstrations exemplaires, que les élèves découvrent selon des modalités variées : présentation par le professeur, élaboration par les élèves sous la direction du professeur, devoir à la maison.
Ces 19 démonstrations sont à connaître.
Combinatoire et dénombrement
- Démonstration par dénombrement de la relation :
$$\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}{n}\\{k}\end{pmatrix}}=2^n$$ - Démonstrations de la relation de Pascal (par le calcul, par une méthode combinatoire).
Orthogonalité et distances dans l’espace
- Le projeté orthogonal d’un point M sur un plan 𝒫 est le point de 𝒫 le plus proche de M.
Représentations paramétriques et équations cartésiennes
- Équation cartésienne du plan normal au vecteur \( \overrightarrow{\displaystyle\mathstrut n\,\,}\) et passant par le point A.
Suites
- Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
- Limite de \(\left(q^n\right)\), après démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli.
- Divergence vers \(+\infty\) d’une suite minorée par une suite divergeant vers \(+\infty\).
- Limite en \(+\infty\) et en \(-\infty\) de la fonction exponentielle.
Limites des fonctions
- Croissance comparée de \(x \longmapsto x^n\) et \(x \longmapsto e^x\) en \(+\infty\).
Compléments sur la dérivation
- Si \(f''\) est positive, alors la courbe représentative de \(f\) est au-dessus de ses tangentes.
Fonction logarithme
- Calcul de la fonction dérivée de la fonction logarithme népérien, la dérivabilité étant admise.
- Limite en 0 de \(x \longmapsto x\ln x\)
Primitives, équations différentielles
- Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
- Résolution de l’équation différentielle \(y’=ay\) où \(a\) est un nombre réel.
Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
- Expression de la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli.
Notions exclues de l'épreuve écrite, mais pas de l'épreuve orale
Calcul intégral
- Pour une fonction positive croissante \(f\) sur \([a,b]\), la fonction \(x \longmapsto\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)~\text{dt}\) est une primitive de \(f\) .
- Pour toute primitive F de \(f\) , relation \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(t)~\text{dt} = F(b)-F(a)\) .
- Intégration par parties.
Sommes de variables aléatoires
- Espérance et variance de la loi binomiale.
