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Première et Terminale
Loi Binomiale
Une approche Historique
La loi binomiale a été introduite par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) qui y fait référence dans son ouvrage Ars Conjectandi publié en 1713.
La loi binomiale a été utilisée par plusieurs scientifiques pour réaliser des calculs dans des situations concrètes. C'est le cas du mathématicien français Abraham de Moivre (1667 - 1754) qui réussit à trouver une approximation de la loi binomiale par la loi normale, il publie d'abord ses résultats en 1733 en latin :
Approximatio ad summam terminorum binomii \((a + b)^n\) in seriem expansi
En 1812, le mathématicien français Pierre-Simon de Laplace (1749 - 1827) reprend ces travaux. En 1909, le mathématicien français Émile Borel ( 1871 - 1956) énonce et prouve, dans le cas de la loi binomiale, la première version de la loi forte des grands nombres.
La loi binomiale apparaît dans de nombreuses applications au 20e siècle : en génétique, en biologie animale, en écologie végétale, pour les tests statistiques, dans différents modèles physiques tels que des réseaux téléphoniques ou le modèle des urnes d'Ehrenfest, etc.
Le nom « binomiale » de cette loi provient de l'écriture du développement du binôme : \((p + q)^n\)
La planche de Galton : les billes rouges (les points rouges sur la figure) empilées dans le bas de l'appareil correspondent à la fonction de masse de la loi binomiale, la courbe bleue correspond à la densité de la loi normale.
T.D. Travaux Dirigés sur la Loi Binomiale
- TD n°1 : Exercices sur la loi Binomiale .
Exercices avec rédaction type et correction, utilisation de la calculatrice . - TD n°2 : Terminale - Probabilités conditionnelles et loi binomiale au Bac .
Des exercices tirés des sujets du Bac avec corrections détaillées.
- TD Algorithmique : loi Binomiale
Cours de Mathématiques sur la Loi Binomiale
- Cours : Le cours complet .
Loi de Bernoulli et loi binomiale, coefficient binomiaux . - Calculatrice :
- Casio : Loi Binomiale sur Casio .
- Texas : Loi Binomiale sur Texas .
- Le triangle de Pascal : Calcul des coefficients binomiaux .
Le triangle de Pascal
D.S. : Devoirs Surveillés de Mathématiques
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Classe de première ES/L
Algorithmique - Projet Second Degré
On va étudier les fonctions polynômes du second degré, définie sur \(\mathbb{R}\) et de la forme :
$$f(x)=ax^2+bx+c~~\text{où}~~ a\neq 0$$
Description du Projet
Une étude complète d'une fonction polynôme du second degré
L'objectif général est de produire un algorithme permettant l'étude complète d'une fonction polynôme du second degré dont on demandera l'expression.
D'une part en Python, d'autre part sur votre calculatrice où l'on produira une version allégée du programme.
Le projet d'algorithmique sur le second degré est composé de 3 parties liées.
Première Partie : 6 exemples à étudier
On propose dans cette partie d'exhiber et d'étudier 6 exemples de fonctions polynômes du second degré correspondants aux cas :
- \(\Delta>0\) et \(a>0\) ; \(\Delta>0\) et \(a<0\) ;
- \(\Delta=0\) et \(a>0\) ; \(\Delta=0\) et \(a<0\) ;
- \(\Delta<0\) et \(a>0\) ; \(\Delta<0\) et \(a<0\) .
Ces exemples vous serviront à valider les différentes étapes de votre programme. La validation et la vérification de votre algorithme sera l'étape la plus longue et ardue de votre projet, ne la sous-estimer surtout pas. Pour cela, vous devrez faire, sur papier, le TD suivant :
- TD n°2 second degré : 6 exemples avec étude complète de fonctions .
Attention : on impose que pour chaque exemple choisi, le coefficient \(a\) soit différent de \(1\) et de \(-1\).
Deuxième partie : Sous Python (100 points)
Vous devez produire un algorithme composé de plusieurs fonctions de paramètres (a,b,c) (delta(a,b,c), racines(a,b,c), sommet(a,b,c), ...).
l'objectif est, à partir des coefficients d'une fonction polynôme du second degré, d'en propose une étude complète comme lors du TD n°2, à l'exception du graphique. Voici les différents éléments demandés et le barème :
- Etude et interprétation graphique : [20 points]
=> Comme sur le TD n°2.- Calcul du discriminant et affichage [5 points]
fonction delta(a,b,c) - Une valeur approchée au centième des racines éventuelles : [10 points]
fonction racines (a,b,c) - Interprétation graphique (points d'intersection) : [5 points]
On peut soit créer une autre fonction, soit modifier la fonction racines(a,b,c)
- Calcul du discriminant et affichage [5 points]
- Factorisation : [10 points].
=> Comme sur le TD n°2.- Ecriture propre de la factorisation éventuelle sans les problèmes d'affichage de signe : [10 points]
Attention : sans un peu de travail, on aura un affichage du type \((x--3)(x-2)\) au lieu de \((x+3)(x-2)\).
- Ecriture propre de la factorisation éventuelle sans les problèmes d'affichage de signe : [10 points]
- Inéquation et étude de signe : [20 points].
=> Comme sur le TD n°2.- Etude du signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\) : [10 points]
- Résolution des inéquations \(f(x)>0\) et \(f(x)<0\) : [5 points]
- Interprétation graphique : [5 points]
- Etude de la fonction : [30 points].
=> Comme sur le TD n°2.- Calcul de \(\alpha\) et \(\beta\)
- Valeurs approchées au dixième [10]
- Ecriture propre de la factorisation canonique sans les problèmes d'affichage de signe : [10 points]
Attention : sans un peu de travail, on aura un affichage du type \((x--3)^2--5\) au lieu de \((x+3)^2+5\). - Etude des variations de la fonction \(f\) : [10 points]
- Calcul de \(\alpha\) et \(\beta\)
- Affichage [20 points]
- Rédaction propre : [5 points]
- Rigueur mathématiques de la rédaction : [10 points]
- Affichage soigné et originalité [5 points]
- Bonus : [max 40 points]
Tout élément supplémentaire sera noté en bonus, 10 points par élément majeur :
- équation bicarrée,
- graphe,
- valeurs exactes,
- choix de la précision des valeurs approchées ...
Troisième Partie : Sur la calculatrice (45 points)
Proposez une version allégée de votre programme sur calculatrice. Consultez la page dédiée aux calculatrices pour vous aider : La calculatrice au lycée.
- Etude et interprétation graphique : [15 points].
=> Comme sur le TD n°2.- Calcul de Delta et affichage : [5 points]
- Une valeur approchée au dixième des racines éventuelles : [10 points]
- Inéquation et étude de signe : [10 points].
=> Comme sur le TD n°2.- Etude du signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\) : [10 points]
- Etude du signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\) : [10 points]
- Etude de la fonction : [20 points].
=> Comme sur le TD n°2.- Calcul de \(\alpha\) et \(\beta\) : [10 points]
- Etude des variations de la fonction \(f\) : [10 points]
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