Comment calculer une racine carrée ? Méthodes, histoire et algorithmes
Calculer une racine carrée, ce n'est pas seulement appuyer sur la touche « racine » d'une calculatrice. Pendant des siècles, les mathématiciens ont cherché des méthodes pour approcher \(\sqrt{a}\) : encadrements par des carrés, algorithmes d'extraction, moyenne de Héron, méthode de Newton, puis calculs numériques modernes.
Cette page explique comment calculer concrètement une racine carrée. On part de la définition rigoureuse, puis on construit plusieurs méthodes : d'abord les encadrements simples, ensuite les approximations décimales, puis les algorithmes historiques et modernes. Les preuves les plus techniques sont placées dans des volets dépliables.
Page complémentaire. Cette page traite du calcul. Pour l'histoire du signe \(\sqrt{}\) lui-même, voir aussi : Le symbole racine carrée : histoire du signe \(\sqrt{}\).
Définition rigoureuse de la racine carrée
Définition utilisée en France.
Soit \(a\) un nombre réel positif ou nul. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l'unique nombre réel positif ou nul dont le carré est égal à \(a\).
Autrement dit :
$$ \sqrt{a}\geq 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt{a}\right)^2=a. $$Par exemple, \(\sqrt{25}=5\), car \(5\geq 0\) et \(5^2=25\).
Attention. Calculer \(\sqrt{a}\) ne signifie pas résoudre directement l'équation \(x^2=a\). Lorsque \(a>0\), cette équation possède deux solutions :
$$ x^2=a \qquad\Longleftrightarrow\qquad x=\sqrt{a}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{a}. $$Par exemple, \(\sqrt{9}=3\), mais l'équation \(x^2=9\) a deux solutions : \(3\) et \(-3\).
Commencer par les carrés parfaits
La première méthode consiste à reconnaître les carrés parfaits. Un carré parfait est un nombre qui est le carré d'un entier : \(1,4,9,16,25,36\), etc.
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n^2\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
Exemples.
$$ \sqrt{49}=7, \qquad \sqrt{100}=10, \qquad \sqrt{144}=12. $$Dans ces cas, le calcul est exact, car le nombre sous la racine est un carré parfait.
Encadrer une racine carrée
Quand le nombre n'est pas un carré parfait, on commence par l'encadrer entre deux carrés parfaits consécutifs. Cette méthode donne immédiatement un ordre de grandeur.
Exemple avec \(\sqrt{10}\).
$$ 3^2=9 \qquad\text{et}\qquad 4^2=16. $$Comme \(9<10<16\), on obtient :
$$ 3<\sqrt{10}<4. $$On sait donc que \(\sqrt{10}\) est un nombre compris entre 3 et 4.
Autre exemple avec \(\sqrt{50}\).
$$ 7^2=49 \qquad\text{et}\qquad 8^2=64. $$Comme \(49<50<64\), on obtient :
$$ 7<\sqrt{50}<8. $$On peut même sentir que \(\sqrt{50}\) est proche de 7, car 50 est très proche de 49.
Obtenir une approximation décimale
Pour obtenir une valeur décimale, on affine l'encadrement. On teste des nombres décimaux, puis on compare leurs carrés au nombre de départ.
Approximation de \(\sqrt{10}\) au dixième.
$$ 3,1^2=9,61 \qquad\text{et}\qquad 3,2^2=10,24. $$Donc :
$$ 3,1<\sqrt{10}<3,2. $$Approximation de \(\sqrt{10}\) au centième.
$$ 3,16^2=9,9856 \qquad\text{et}\qquad 3,17^2=10,0489. $$Donc :
$$ 3,16<\sqrt{10}<3,17. $$On en déduit que \(\sqrt{10}\approx 3,16\) au centième.
Approximation de \(\sqrt{10}\) au millième.
$$ 3,162^2=9,998244 \qquad\text{et}\qquad 3,163^2=10,004569. $$Donc :
$$ 3,162<\sqrt{10}<3,163. $$On en déduit que \(\sqrt{10}\approx 3,162\) au millième.
La méthode de Héron : histoire, idée et preuve
Héron d'Alexandrie, ou Hero d'Alexandrie, est un savant grec d'Alexandrie, généralement situé au Ier siècle de notre ère. On lui attribue des travaux de géométrie, de mécanique et d'ingénierie. Son traité Metrica contient des méthodes de calcul d'aires, de volumes et d'approximations numériques.
La méthode présentée ici porte son nom, mais elle est aussi souvent appelée méthode babylonienne, car les mathématiques mésopotamiennes témoignent d'une très ancienne maîtrise des approximations de racines carrées, notamment autour de \(\sqrt{2}\). Par prudence historique, il faut distinguer la tradition ancienne des calculs de racines, les procédés décrits par Héron, et la formule moderne écrite avec des lettres.
L'idée géométrique de la méthode est très simple. Pour calculer \(\sqrt{a}\), on cherche le côté du carré d'aire \(a\). Si l'on choisit une première longueur positive \(x_n\), alors le rectangle d'aire \(a\) qui a un côté \(x_n\) a pour autre côté :
$$ \dfrac{a}{x_n}. $$Si le rectangle était déjà un carré, ses deux côtés seraient égaux à \(\sqrt{a}\). Héron consiste donc à remplacer les deux côtés du rectangle par leur moyenne. On obtient alors une nouvelle approximation, souvent bien meilleure que la précédente.
Formule de la méthode de Héron.
Soit \(a>0\). On choisit une première approximation \(x_0>0\), puis on définit la suite \((x_n)\) par :
Cette suite converge vers \(\sqrt{a}\), quel que soit le choix initial \(x_0>0\).
Preuve complète de la méthode de Héron — niveau Terminale spécialité maths
Niveau de la preuve. Cette démonstration correspond à une rédaction de niveau Terminale spécialité mathématiques, avec utilisation du théorème de convergence monotone. La dernière remarque sur la vitesse de convergence peut être lue comme un complément de niveau lycée supérieur.
Objectif. Soit \(a>0\). On pose :
$$ r=\sqrt{a}. $$On considère la suite \((x_n)\) définie par un réel initial \(x_0>0\) et par la relation :
$$ x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right). $$On veut démontrer que :
$$ \lim_{n\to +\infty}x_n=\sqrt{a}. $$Étape 1 : les termes sont bien définis et strictement positifs.
Comme \(x_0>0\), on raisonne par récurrence. Supposons que \(x_n>0\). Alors \(a/x_n>0\), donc :
Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(x_n>0\). La suite est donc bien définie.
Étape 2 : à partir du rang 1, la suite est au-dessus de \(\sqrt{a}\).
Comme \(a=r^2\), pour tout entier naturel \(n\), on calcule :
Or \((x_n-r)^2\geq 0\) et \(2x_n>0\). Donc :
$$ x_{n+1}-r\geq 0. $$Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a :
$$ x_{n+1}\geq r=\sqrt{a}. $$En particulier, à partir du rang 1, la suite est minorée par \(\sqrt{a}\).
Étape 3 : à partir du rang 1, la suite est décroissante.
Pour tout \(n\geq 1\), l'étape précédente donne \(x_n\geq r\). Comme les deux nombres sont positifs, on obtient :
Calculons alors la différence \(x_{n+1}-x_n\) :
$$ \begin{aligned} x_{n+1}-x_n &=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right)-x_n\\ &=\dfrac{a-x_n^2}{2x_n}. \end{aligned} $$Pour \(n\geq 1\), on a \(a-x_n^2\leq 0\), et \(2x_n>0\). Donc :
$$ x_{n+1}-x_n\leq 0. $$La suite \((x_n)_{n\geq 1}\) est donc décroissante.
Étape 4 : application du théorème de convergence monotone.
On vient de démontrer que la suite \((x_n)_{n\geq 1}\) est décroissante et minorée par \(\sqrt{a}\). D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge. Il existe donc un réel \(\ell\) tel que :
Étape 5 : identification de la limite.
Comme \(\ell>0\), la fonction
est continue au voisinage de \(\ell\). On peut donc passer à la limite dans la relation de récurrence :
$$ x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right). $$On obtient :
$$ \ell=\dfrac{1}{2}\left(\ell+\dfrac{a}{\ell}\right). $$Comme \(\ell>0\), on résout :
$$ \begin{aligned} \ell&=\dfrac{1}{2}\left(\ell+\dfrac{a}{\ell}\right)\\ 2\ell&=\ell+\dfrac{a}{\ell}\\ \ell&=\dfrac{a}{\ell}\\ \ell^2&=a. \end{aligned} $$La limite \(\ell\) est positive et vérifie \(\ell^2=a\). Par définition de la racine carrée :
$$ \ell=\sqrt{a}. $$Conclusion. Pour tout \(a>0\) et tout choix initial \(x_0>0\), la suite de Héron converge vers \(\sqrt{a}\) :
$$ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}x_n=\sqrt{a}}. $$Remarque sur la rapidité de convergence. L'égalité démontrée à l'étape 2 donne aussi :
$$ x_{n+1}-\sqrt{a}=\dfrac{(x_n-\sqrt{a})^2}{2x_n}. $$L'erreur suivante dépend donc du carré de l'erreur précédente. Lorsque \(x_n\) est déjà proche de \(\sqrt{a}\), l'erreur devient très vite minuscule : c'est l'idée de la convergence quadratique.
| Étape | Calcul | Valeur approchée |
|---|---|---|
| \(x_0\) | On choisit une première approximation. | \(3,2\) |
| \(x_1\) | \(\dfrac{1}{2}\left(3,2+\dfrac{10}{3,2}\right)\) | \(3,1625\) |
| \(x_2\) | \(\dfrac{1}{2}\left(3,1625+\dfrac{10}{3,1625}\right)\) | \(3,16227766\ldots\) |
La méthode de Héron combine une intuition géométrique simple avec une convergence mathématiquement très solide : après un premier pas, la suite est décroissante, minorée par \(\sqrt{a}\), puis le théorème de convergence monotone permet d'établir sa convergence.
Lien avec la méthode de Newton
La méthode de Héron est bien antérieure à la méthode de Newton. Pourtant, avec le langage de l'analyse moderne, on retrouve exactement la formule de Héron en appliquant la méthode de Newton à l'équation \(x^2-a=0\).
Géométriquement, Newton part d'une approximation \(x_n\), trace la tangente à la courbe de \(f\) au point \((x_n,f(x_n))\), puis prend pour nouvelle approximation l'abscisse où cette tangente coupe l'axe des abscisses.
Pour calculer \(\sqrt{a}\), on cherche le nombre positif \(x\) qui vérifie :
$$ x^2=a. $$On cherche donc la racine positive de la fonction :
$$ f(x)=x^2-a. $$Démonstration complète : tangente de Newton et formule de Héron — niveau Terminale spécialité maths
Objectif. On veut partir de l'interprétation géométrique de Newton par la tangente, puis retrouver la formule de Héron.
Étape 1 : équation de la tangente.
Soit \(f\) une fonction dérivable et soit \(x_n\) une approximation telle que \(f'(x_n)\neq 0\). La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x_n\) a pour équation :
Étape 2 : intersection avec l'axe des abscisses.
La nouvelle approximation \(x_{n+1}\) est l'abscisse du point où cette tangente coupe l'axe des abscisses. Sur cet axe, \(y=0\), donc :
Étape 3 : formule générale de Newton.
Comme \(f'(x_n)\neq 0\), on obtient :
Étape 4 : application à \(f(x)=x^2-a\).
Ici :
Pour \(x_n>0\), on a bien \(f'(x_n)=2x_n\neq 0\). La formule de Newton donne alors :
$$ \begin{aligned} x_{n+1} &=x_n-\dfrac{x_n^2-a}{2x_n}\\ &=\dfrac{2x_n^2-(x_n^2-a)}{2x_n}\\ &=\dfrac{x_n^2+a}{2x_n}\\ &=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right). \end{aligned} $$Conclusion. Pour le calcul de \(\sqrt{a}\), la méthode de Newton appliquée à \(f(x)=x^2-a\) donne exactement la méthode de Héron :
$$ \boxed{x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right)}. $$À retenir. Héron donne une interprétation par les longueurs d'un rectangle d'aire \(a\). Newton donne une interprétation par la tangente à la courbe \(y=x^2-a\). Les deux approches conduisent au même algorithme, mais elles ne racontent pas la même histoire mathématique.
L'algorithme d'extraction à la main
Avant les calculatrices, on enseignait un algorithme d'extraction de la racine carrée à la main. Il ressemble à une division posée. Il permet de calculer les chiffres de la racine un par un, sans avoir à tester toutes les décimales au hasard.
Principe. On groupe les chiffres du nombre par paquets de deux, en partant de la virgule. Chaque paquet fournit un chiffre de la racine carrée.
Par exemple :
$$ 2025 = 20\,|\,25. $$| Étape | Action | Résultat |
|---|---|---|
| 1 | On groupe les chiffres par paquets de deux : \(20|25\). | |
| 2 | Le plus grand carré inférieur ou égal à 20 est \(4^2=16\). | Premier chiffre : 4 ; reste : \(20-16=4\). |
| 3 | On descend le paquet suivant : 25. Le nouveau nombre est 425. | |
| 4 | On double 4, ce qui donne 8. On cherche le chiffre \(d\) tel que \((80+d)d\leq 425\). | \(d=5\), car \(85\times 5=425\). |
| 5 | La racine est donc formée des chiffres 4 puis 5. | \(\sqrt{2025}=45\). |
Pour obtenir des décimales, on continue en ajoutant des paquets \(00\) après la virgule. Par exemple, pour \(\sqrt{10}\), l'algorithme donne successivement \(3\), puis \(3,1\), puis \(3,16\), puis \(3,162\), etc.
Cette méthode est aujourd'hui moins utilisée en classe, mais elle est historiquement importante : elle montre que l'on peut calculer une racine carrée chiffre par chiffre, avec seulement des opérations élémentaires.
Preuve complète de l'algorithme d'extraction à la main — niveau lycée avancé
On note \(A\) le nombre dont on veut calculer la racine carrée. La méthode d'extraction à la main consiste à calculer les chiffres de \(\sqrt A\) les uns après les autres. Pour comprendre pourquoi elle fonctionne, il faut remarquer que les chiffres de \(A\) sont regroupés par paquets de deux, en partant de la virgule.
Ce regroupement n'est pas un hasard : ajouter un paquet de deux chiffres revient à travailler en base 100. En effet, lorsqu'on passe d'un nombre partiel \(N\) au nombre obtenu en abaissant le paquet suivant \(p\), on ne forme pas \(10N+p\), mais :
$$ N'=100N+p, \qquad\text{avec}\qquad 0\leq p\leq 99. $$Or, du côté de la racine carrée, un nouveau chiffre s'ajoute en base 10. C'est ce décalage entre la base \(100\) pour le nombre et la base \(10\) pour sa racine qui explique toute la méthode.
Supposons qu'à une certaine étape on ait déjà traité un nombre partiel \(N\). On connaît alors sa racine partielle :
$$ u=\lfloor\sqrt N\rfloor. $$Cela signifie que \(u\) est le plus grand entier dont le carré ne dépasse pas \(N\). On peut donc écrire :
$$ N=u^2+r, \qquad\text{avec}\qquad r=N-u^2\geq 0. $$Le nombre \(r\) est le reste de l'étape en cours. On abaisse ensuite le paquet suivant \(p\), où \(0\leq p\leq 99\). Le nouveau nombre partiel devient :
$$ N'=100N+p. $$Comme on ajoute un paquet de deux chiffres au nombre, la racine partielle \(u\) est décalée d'un rang décimal. La nouvelle racine partielle est donc nécessairement de la forme :
$$ 10u+x, \qquad\text{avec}\qquad x\in\{0,1,2,\ldots,9\}. $$Le chiffre \(x\) est précisément le chiffre que l'algorithme cherche à déterminer. Calculons le carré de ce candidat :
$$ (10u+x)^2 =100u^2+20ux+x^2 =100u^2+x(20u+x). $$Cette identité est le coeur de la méthode. Le terme \(20u\) explique pourquoi, dans la pratique, on double la racine partielle avant de chercher le chiffre suivant.
D'autre part, comme \(N=u^2+r\), on obtient :
$$ N'=100N+p =100(u^2+r)+p =100u^2+100r+p. $$Le candidat \(10u+x\) est acceptable si son carré ne dépasse pas \(N'\), c'est-à-dire si :
$$ (10u+x)^2\leq N'. $$En remplaçant les deux membres par les expressions précédentes, on obtient :
$$ 100u^2+x(20u+x)\leq 100u^2+100r+p. $$On retranche \(100u^2\) aux deux membres. On obtient alors l'équivalence fondamentale :
$$ (10u+x)^2\leq N' \qquad\Longleftrightarrow\qquad x(20u+x)\leq 100r+p. $$Cette équivalence justifie exactement le test pratique de l'algorithme : on double la racine partielle \(u\), puis on cherche le plus grand chiffre \(x\) tel que :
$$ x(20u+x)\leq 100r+p. $$Dans la présentation posée, l'expression \(20u+x\) se lit comme le nombre obtenu en écrivant le chiffre \(x\) à droite du double de la racine partielle. Par exemple, si \(u=31\), alors \(20u=620\), et tester \(x=6\) revient à tester \(626\times 6\).
Il reste à montrer que le chiffre ainsi choisi est bien le chiffre suivant de la racine carrée. Comme \(u=\lfloor\sqrt N\rfloor\), on a :
$$ u^2\leq N<(u+1)^2. $$Comme \(N\) est entier, cela donne :
$$ N\leq (u+1)^2-1. $$En multipliant par \(100\) puis en ajoutant \(p\leq 99\), on obtient :
$$ N'=100N+p \leq 100\big((u+1)^2-1\big)+99 =100(u+1)^2-1. $$Donc :
$$ N'<100(u+1)^2=(10u+10)^2. $$Par ailleurs, puisque \(N\geq u^2\), on a :
$$ N'=100N+p\geq 100u^2=(10u)^2. $$On a donc montré l'encadrement :
$$ (10u)^2\leq N'<(10u+10)^2. $$En prenant les racines carrées, cela signifie que \(\sqrt{N'}\) est compris entre \(10u\) et \(10u+10\). Par conséquent, sa partie entière est nécessairement l'un des dix entiers :
$$ 10u,\ 10u+1,\ 10u+2,\ \ldots,\ 10u+9. $$La nouvelle racine partielle est donc bien de la forme \(10u+x\), avec \(x\in\{0,\ldots,9\}\). Or l'inégalité \((10u+x)^2\leq N'\) est équivalente à \(x(20u+x)\leq 100r+p\). Ainsi, choisir le plus grand chiffre \(x\) vérifiant cette inégalité revient exactement à choisir le plus grand entier \(10u+x\) dont le carré ne dépasse pas \(N'\). On obtient donc :
$$ 10u+x=\lfloor\sqrt{N'}\rfloor. $$Le nouveau reste est alors :
$$ r'=N'-(10u+x)^2. $$En utilisant les calculs précédents, on obtient :
$$ r'=100r+p-x(20u+x). $$Ce reste est positif ou nul, car le chiffre \(x\) a été choisi de façon à vérifier :
$$ x(20u+x)\leq 100r+p. $$On retrouve donc exactement la même situation qu'à l'étape précédente : un nouveau nombre partiel, une nouvelle racine partielle et un nouveau reste positif. Par récurrence sur le nombre de paquets abaissés, l'algorithme d'extraction à la main donne bien, à chaque étape, la partie entière de la racine carrée du nombre partiel traité.
Pour obtenir les décimales, on continue simplement après la virgule en abaissant des paquets \(00\). Cela revient à prolonger l'écriture de \(A\) par des paquets nuls en base \(100\). Chaque paquet \(00\) fournit alors un nouveau chiffre décimal de \(\sqrt A\).
Exemple détaillé : calcul de \(\sqrt{10}\) par extraction à la main
On veut calculer \(\sqrt{10}\). On écrit le nombre avec des paquets de deux chiffres :
$$ 10 = 10\,|\,00\,|\,00\,|\,00\,|\cdots $$Le premier paquet est \(10\). Le plus grand carré inférieur ou égal à \(10\) est \(3^2=9\), car \(3^2\leq 10<4^2\). Le premier chiffre de la racine est donc \(3\), et le reste vaut :
$$ 10-9=1. $$On abaisse ensuite le paquet \(00\). Le nouveau nombre à traiter est :
$$ 100\times 1+0=100. $$On double la racine partielle \(3\), ce qui donne \(6\). On cherche le plus grand chiffre \(x\) tel que :
$$ x(60+x)\leq 100. $$On teste :
$$ 1\times 61=61\leq 100 \qquad\text{mais}\qquad 2\times 62=124>100. $$Le chiffre suivant est donc \(1\). On obtient \(3,1\), et le nouveau reste vaut :
$$ 100-61=39. $$On abaisse encore un paquet \(00\). Le nouveau nombre à traiter est :
$$ 100\times 39+0=3900. $$La racine partielle entière est maintenant \(31\). On la double : \(2\times 31=62\). On cherche le plus grand chiffre \(x\) tel que :
$$ x(620+x)\leq 3900. $$On teste :
$$ 6\times 626=3756\leq 3900 \qquad\text{mais}\qquad 7\times 627=4389>3900. $$Le chiffre suivant est donc \(6\). On obtient \(3,16\), et le nouveau reste vaut :
$$ 3900-3756=144. $$On abaisse encore un paquet \(00\). Le nouveau nombre à traiter est :
$$ 100\times 144+0=14400. $$La racine partielle entière est maintenant \(316\). On la double : \(2\times 316=632\). On cherche le plus grand chiffre \(x\) tel que :
$$ x(6320+x)\leq 14400. $$On teste :
$$ 2\times 6322=12644\leq 14400 \qquad\text{mais}\qquad 3\times 6323=18969>14400. $$Le chiffre suivant est donc \(2\). On obtient :
$$ \sqrt{10}\approx 3,162. $$La méthode peut être poursuivie autant que nécessaire. En abaissant encore des paquets \(00\), on obtient les chiffres suivants de la racine carrée.
| Étape | Racine partielle | Nombre à traiter | Test effectué | Chiffre obtenu | Reste |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(3\) | \(10\) | \(3^2\leq 10<4^2\) | \(3\) | \(1\) |
| 2 | \(3,1\) | \(100\) | \(1\times 61\leq 100<2\times 62\) | \(1\) | \(39\) |
| 3 | \(3,16\) | \(3900\) | \(6\times 626\leq 3900<7\times 627\) | \(6\) | \(144\) |
| 4 | \(3,162\) | \(14400\) | \(2\times 6322\leq 14400<3\times 6323\) | \(2\) | \(1756\) |
Ainsi, l'algorithme donne successivement :
$$ 3,\qquad 3,1,\qquad 3,16,\qquad 3,162,\ldots $$Ce résultat est cohérent avec l'encadrement obtenu par calcul direct :
$$ 3,162<\sqrt{10}<3,163. $$Un petit algorithme Python
La méthode de Héron se programme très facilement. Voici une version simple qui répète la formule plusieurs fois.
def racine_heron(a, iterations=10):
if a < 0:
raise ValueError("La racine carrée réelle n'est pas définie pour un nombre négatif.")
if a == 0:
return 0
x = a
for _ in range(iterations):
x = 0.5 * (x + a / x)
return x
print(racine_heron(10, 5))Comment lire ce programme ? On choisit une première approximation \(x\), puis on remplace plusieurs fois \(x\) par la moyenne de \(x\) et de \(a/x\). Après quelques tours, on obtient une valeur très proche de \(\sqrt{a}\).
Repères historiques
La tablette babylonienne YBC 7289, généralement datée entre 1800 et 1600 avant notre ère, contient une approximation sexagésimale très précise de \(\sqrt{2}\) : \(1;24,51,10\), soit environ \(1,414213\). C'est l'un des témoignages les plus célèbres de la maîtrise ancienne des approximations de racines carrées [YBC-7289] [Fowler-Robson].
Tablette ronde. Au recto, dessin d'un carré avec sa diagonale et des nombres inscrits ; au verso, dessin d'un rectangle avec une diagonale inscrite, mais les nombres sont trop mal conservés pour être restitués. Texte mathématique : le problème du recto montre comment calculer la diagonale d'un carré, ainsi que la racine carrée de 2, valeur connue par ailleurs dans la liste de coefficients YBC 7243. Époque paléo-babylonienne. Argile. Recto, no 10.
Au Ier siècle, Héron d'Alexandrie décrit dans la Metrica un procédé itératif d'approximation des racines carrées [Héron]. La méthode qui porte son nom est encore enseignée aujourd'hui, car elle est simple, rapide et très efficace.
Au Moyen Âge, Fibonacci présente lui aussi des calculs de racines dans le Liber Abaci et la Practica geometriae. Les études récentes montrent que ses méthodes sont décrites verbalement et résumées dans des tableaux, avec des procédés qui ne coïncident pas toujours avec la présentation moderne de l'extraction chiffre par chiffre [Steihaug].
Dans les calculatrices et les ordinateurs, les racines carrées sont calculées par des algorithmes numériques rapides. La méthode de Newton, les variantes de la méthode de Héron et les méthodes adaptées au calcul binaire jouent un rôle central dans le calcul moderne [Algorithms] [Newton].
Frise chronologique du calcul des racines carrées
La tablette paléo-babylonienne YBC 7289 donne une approximation sexagésimale remarquable de \(\sqrt{2}\), liée au calcul de la diagonale d'un carré. Elle montre que les mathématiques mésopotamiennes maîtrisaient déjà des approximations numériques très fines.
Dans la tradition grecque, les racines carrées sont étroitement liées à la géométrie : diagonale du carré, aires, longueurs constructibles et grandeurs incommensurables. Le calcul numérique existe, mais il reste souvent exprimé dans un langage géométrique.
Dans la Metrica, Héron d'Alexandrie décrit des procédés d'approximation numérique. La méthode de Héron consiste à remplacer un rectangle d'aire donnée par un rectangle plus proche d'un carré, en utilisant une moyenne.
Les méthodes de calcul de racines circulent dans les traditions savantes grecques, arabes, indiennes et latines. Elles sont souvent présentées sous forme de recettes verbales ou de procédures numériques, bien avant l'écriture algébrique moderne.
Avec le Liber Abaci, Fibonacci diffuse en Europe latine les chiffres indo-arabes et de nombreuses méthodes de calcul. Les racines carrées y apparaissent dans un contexte de calcul pratique, commercial et géométrique.
Le développement du symbolisme algébrique rend les calculs plus compacts. Le signe de la racine carrée se stabilise progressivement dans les imprimés européens, ce qui facilite l'écriture des formules et des algorithmes.
La méthode de Newton donne une interprétation analytique de l'algorithme de Héron : appliquée à \(f(x)=x^2-a\), elle conduit à la même formule $$ x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right). $$
L'extraction de la racine carrée à la main devient une technique scolaire classique. Elle permet de calculer les chiffres de la racine un par un, à la manière d'une division posée.
Les machines utilisent des méthodes numériques rapides : variantes de Newton-Héron, algorithmes binaires, approximations initiales et corrections itératives. Le calcul d'une racine carrée devient instantané, mais repose toujours sur des idées mathématiques anciennes.
Erreurs classiques à éviter
| Erreur fréquente | Pourquoi c'est faux | À retenir |
|---|---|---|
| \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) | La racine carrée ne se distribue pas sur une somme. | Par exemple, \(\sqrt{9+16}=5\), mais \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\). |
| \(\sqrt{a^2}=a\) pour tout réel \(a\) | Si \(a\) est négatif, \(a\) n'est pas la valeur positive. | \(\sqrt{a^2}=|a|\). |
| Calculer \(\sqrt{-4}\) dans les réels | Il n'existe aucun réel dont le carré vaut \(-4\). | Dans les réels, \(\sqrt{a}\) est définie pour \(a\geq 0\). |
À retenir
Calculer une racine carrée consiste généralement à chercher une valeur exacte quand le nombre est un carré parfait, ou une valeur approchée lorsqu'il ne l'est pas. Les encadrements donnent une première estimation, la méthode de Héron donne rapidement de très bonnes approximations, et l'algorithme d'extraction à la main calcule les chiffres un par un.
- \(\sqrt{a}\) désigne l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut \(a\), pour \(a\geq 0\).
- Les carrés parfaits donnent des racines exactes : \(\sqrt{144}=12\).
- Les encadrements permettent d'obtenir rapidement un ordre de grandeur.
- La méthode de Héron utilise la formule \(x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right)\).
- La convergence de Héron se démontre proprement avec le théorème de convergence monotone.
- La relation \(x_{n+1}-\sqrt{a}=\dfrac{(x_n-\sqrt{a})^2}{2x_n}\) explique la rapidité de la méthode.
- La méthode de Héron est la méthode de Newton appliquée à l'équation \(x^2=a\).
- L'algorithme d'extraction à la main calcule les chiffres de la racine un par un.
Sources et bibliographie
- [YBC-7289] : Yale Peabody Museum, YBC 7289, tablette mathématique paléo-babylonienne en argile. Le recto montre un carré avec sa diagonale et une approximation sexagésimale de \(\sqrt{2}\), utilisée pour calculer la diagonale du carré. Disponible en ligne : Yale Peabody Museum — YBC 7289.
- [Fowler-Robson] : David Fowler et Eleanor Robson, Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context, Historia Mathematica, vol. 25, no 4, 1998, p. 366-378.
- [Héron] : Héron d'Alexandrie, Metrica, livre I. La méthode d'approximation des racines carrées est traditionnellement associée à cet ouvrage.
- [Algorithms] : Square root algorithms, article encyclopédique anglophone, consulté le 14 juin 2026. L'article présente la méthode de Héron, la méthode de Newton et l'algorithme d'extraction chiffre par chiffre. Disponible en ligne : https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_algorithms.
- [HeronMethod] : Heron's method, article encyclopédique anglophone, consulté le 14 juin 2026. L'article détaille la formule de Héron et son lien avec Newton. Disponible en ligne : https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_method.
- [Newton] : Newton's method, article encyclopédique anglophone, consulté le 14 juin 2026. L'article présente la méthode de Newton et sa convergence locale quadratique sous les hypothèses usuelles. Disponible en ligne : https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method.
- [Steihaug] : Trond Steihaug, Annotated square root computation in Liber Abaci and De Practica Geometrie by Fibonacci, 2024. Disponible en ligne : arXiv:2401.12016.
- [Heath] : Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. II, Oxford, Clarendon Press, 1921.
- [Hamming] : Richard W. Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers, Dover Publications, 1986.