Solution du problème de Monty Hall, les trois portes


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  • Étape 1 : Au debut, chaque porte a la même probabilité d'être gagnante, soit une chance sur 3, p=1/3.

probleme 3 portes monty hall solution1

Considérons que nous choisissions la premiere porte, la voiture a 1 chance sur 3 d'être derriere la 1ère et donc 2 chance sur 3 d'être parmi les 2 portes qui restent.

probleme 3 portes monty hall solution2

  • Étape 2 : Parmi les deux portes qui restent, le présentateur ouvre une mauvaise.

probleme 3 portes monty hall solution3

  •  Étape 3 : Maintenant c'est assez simple, la voiture a :
    • 1 chance sur 3 d'être derriere la porte choisie au début ;
    • et 2 chances sur 3 d'être derrière la porte restante.

Il faut donc changer de choix de porte.

Généralisation du problème de Monty Hall


Si l'on résume ce qui précède, avec 3 portes, la probabilité de trouver la "porte gagnante" en changeant de choix est de p = 2/3.

  • Imaginons maintenant le même jeu avec 4 portes, et le présentateur qui ouvre 2 portes perdantes sur les 3 restantes,
    alors on aura p = 3/4 = 75% de gagner en changeant de choix !

  • De même, avec 5 portes : p = 4/5 =  80% de chances de gagner en changeant de choix.

probleme 3 portes monty hall solution

  • Avec 100 portes, p = 99/100 = 99% de chances de gagner en changeant de choix. 

  • Avec n portes, p = (n-1)/n = 1 - 1/n

Mathématisation de la résolution, théorème de Bayes

Le théorème de Bayes, du nom du mathématicien et révérend anglais, Thomas BAYES (1701 ou 1702 - 1761) permet, étant donné deux évènements G et O,  de déterminer la probabilité de G sachant O, si l'on connaît les probabilités :

  • de G ;
  • de O ;
  • de O sachant G.

On montre que : P(G/O) = P(O/G)×P(G)/P(O)

Supposons que nous choisissions la porte n°1 – le raisonnement serait identique dans les deux autres cas - et notons :

  • G1 (respectivement G2 et G3) : la voiture se trouve derrière la porte n°1 (resp. 2 et 3)
  • O1 (respectivement O2 et O3): l'animateur ouvre la porte perdante n°1 (resp. 2 et 3)

Supposons alors que l'animateur ouvre la porte 3 - (le raisonnement est le même s'il ouvre la porte 2).

probleme 3 portes monty hall solution3

La probabilité de gagner en changeant mon choix est alors

  • La probabilité que la voiture soit derrière la porte 2, sachant que l'animateur a ouvert la porte n°3,
    c'est-à-dire P(G2/O3).
    Or, d'après la formule de Bayes : P(G2/O3) = P(O3/G2).P(G3)/P(O3)

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  • Il reste alors à calculer P(O3) avec la formule des probabilités totales : 
    P(O3)= P(O3∩G1)              + P(O3∩G2)             + P(O3∩G3)
    P(O3)= P(O3/G1)×P(G1) + P(O3/G2)×P(G2)P(O3/G3)×P(G3)

    • P(O3/G3) = 0 
      En effet, si la voiture est derrière la porte n°3 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage,
      la seule porte que peut ouvrir l'animateur est la porte n°2 donc P(O3/G3) = 0 ;

    • P(O3/G2) = 1 
      En effet, si la voiture est derrière la porte n°2 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage, 
      la seule porte que peut ouvrir l'animateur est la porte n°3 donc P(O3/G2) = 1 ;

    • P(O3/G1) = 1/2 
      En effet, si la voiture est derrière la porte n°1 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage, 
      l'animateur a deux choix équiprobables (la porte 2 ou la porte 3) donc P(O3/G1) = 1/2.

    • De plus, P(G1) = P(G2) = P(G3) = 1/3

Donc :

  • P(O3) = (1/2) × (1/3) + 1 × (1/3) + 0 × (1/3)
    P(O3) = 1/2

Et pour conclure : 

  • P(G2/O3) = P(O3/G2).P(G3)/P(O3)
    P(G2/O3) = 1×(1/3)/(1/2)

    P(G2/O3) = 2/3

La probabilité de gagner en changeant mon choix est alors  P(G2/O3) = 2/3.

 

 

Compléments



  • Kevin Spacey dans Las Végas 21 : Le problème probabiliste des trois portes de Monty Hall présenté dans le film Las Vegas 21 par l'acteur Kevin Spacey.