En partant d’un polygone quelconque, on applique toujours la même règle : remplacer chaque sommet par le milieu du côté suivant. À force de répéter cette opération, la forme paraît se régulariser. Après recentrage et normalisation, les sommets semblent se placer sur une ellipse inclinée.
Une opération très simple — prendre les milieux des côtés — produit un effet visuel étonnant : un polygone initialement désordonné se transforme peu à peu en une figure organisée. Derrière cette expérience se cache une belle idée d’algèbre linéaire : l’action répétée d’une matrice circulante.
1. Expérience géométrique : une règle simple
On fixe un entier \(n \geq 3\) et on considère un polygone initial \[ P^{(0)}=\big(M^{(0)}_1,M^{(0)}_2,\dots,M^{(0)}_n\big), \] dont les sommets sont placés dans le plan. Ils peuvent être choisis au hasard : le polygone de départ n’a pas besoin d’être régulier.
À partir du polygone \[ P^{(k)}=\big(M^{(k)}_1,M^{(k)}_2,\dots,M^{(k)}_n\big), \] on construit le polygone suivant en prenant les milieux successifs des côtés : \[ M^{(k+1)}_i=\frac{M^{(k)}_i+M^{(k)}_{i+1}}{2}, \qquad M^{(k)}_{n+1}=M^{(k)}_1. \] Le nombre de sommets reste donc exactement le même à chaque étape.
À l’écran, on observe rapidement trois phénomènes :
- les irrégularités les plus fortes disparaissent ;
- la figure devient plus lisse ;
- après recentrage et changement d’échelle, une forme elliptique apparaît.
Sans normalisation, le polygone finit par se contracter vers son centroïde. Pour bien voir la forme limite, on recentre donc la figure à chaque étape, puis on la remet à une taille comparable.
2. Animation interactive : naissance d’une ellipse
Choisissez le nombre de sommets, générez un nouveau polygone, puis lancez l’animation. La transformation affichée consiste à remplacer chaque sommet par le milieu du côté suivant, puis à recentrer et normaliser la figure.
Astuce : essayez avec 100 ou 150 sommets, activez le mode lent et laissez tourner : l’ellipse apparaît progressivement.
L’animation ne montre pas que chaque polygone devient immédiatement une ellipse. Elle montre qu’après beaucoup d’itérations, et après recentrage-normalisation, la composante dominante de la transformation donne une figure elliptique.
3. Pourquoi une ellipse ? L’idée matricielle
On peut représenter les sommets du polygone par une liste de vecteurs. La transformation « prendre le milieu du côté suivant » est alors une transformation linéaire. Elle s’écrit comme la multiplication par une matrice circulante \(A\).
Pour un polygone à \(n\) sommets, la matrice associée a essentiellement la forme suivante :
\[ A=\frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]Chaque ligne calcule la moyenne entre un sommet et le sommet suivant. Le dernier sommet est relié au premier, ce qui explique le retour circulaire dans la dernière ligne.
Matrice circulante (circulant matrix) : matrice carrée dont chaque ligne est obtenue en décalant circulairement la ligne précédente.
Valeur propre (eigenvalue) : nombre \(\lambda\) pour lequel il existe un vecteur non nul \(v\) vérifiant \[ A v = \lambda v. \]
Vecteur propre (eigenvector) : vecteur non nul dont la direction est conservée par la transformation, à un facteur multiplicatif près.
Sous-espace invariant (invariant subspace) : sous-espace \(E\) tel que \(A(E)\subseteq E\).
Recentrage : on soustrait le centroïde pour placer la figure autour de l’origine.
Normalisation : on remet la figure à une taille fixe pour éviter qu’elle ne se contracte vers un point.
Le rôle des valeurs propres
La matrice \(A\) possède plusieurs valeurs propres. La première, de module \(1\), correspond au déplacement du centroïde : elle ne décrit pas la forme du polygone, mais seulement sa position globale.
Une fois le polygone recentré, cette composante est supprimée. Les composantes restantes sont alors contractées plus ou moins vite. Les composantes associées aux plus grandes valeurs propres restantes dominent progressivement la forme.
Après recentrage et normalisation, la dynamique est dominée par un couple de valeurs propres complexes conjuguées. Ce couple agit comme une rotation accompagnée d’une contraction. C’est cette dynamique dans un plan invariant qui fait apparaître une ellipse.
Les autres composantes disparaissent plus rapidement. Le polygone perd donc peu à peu les détails irréguliers du départ, tandis que la forme dominante, elliptique, devient visible.
4. Le théorème d’Elmachtoub et van Loan
En répétant l’opération de prise des milieux sur les côtés d’un polygone, puis en recentrant et en normalisant la figure, les sommets du polygone s’approchent d’une ellipse. Cette ellipse est déterminée par le sous-espace propre associé au couple de valeurs propres dominantes après suppression de la composante du centroïde.
Ce résultat illustre une idée puissante : une transformation linéaire répétée finit souvent par révéler ses directions dominantes. C’est le même esprit que dans la méthode de la puissance, utilisée pour approcher des vecteurs propres.
Ici, le phénomène est particulièrement spectaculaire car il se voit dans une figure géométrique simple : un polygone quelconque, même très irrégulier, finit par laisser apparaître une structure stable.
5. Quelques éléments d’histoire des mathématiques
- Années 1970-1980
Les itérations géométriques et les phénomènes de régularisation des polygones sont étudiés dans plusieurs travaux autour de Philip J. Davis. - 1981
Philip J. Davis et Reuben Hersh publient The Mathematical Experience, où ce type d’expérience illustre la surprise mathématique : une règle simple peut produire une forme inattendue. - 2010
Adam Elmachtoub et Charles van Loan publient From Random Polygon to Ellipse: An Eigenanalysis, qui donne une explication par les valeurs propres de la matrice associée. - Années 2010+
Le phénomène devient populaire grâce aux animations interactives, notamment celles inspirées par les visualisations de Jason Davies.
6. Ressources et références
- Philip J. Davis et Reuben Hersh, The Mathematical Experience, Birkhäuser, 1981.
- Adam Elmachtoub et Charles van Loan, From Random Polygon to Ellipse: An Eigenanalysis, 2010.
- Visualisations interactives inspirées des animations de Jason Davies.
Cette animation peut servir d’introduction visuelle aux transformations linéaires, aux suites définies par récurrence et à l’idée de convergence.
Le phénomène illustre le rôle des valeurs propres, des sous-espaces invariants et de la méthode de la puissance.
C’est un bel exemple d’ordre émergeant du chaos : une règle locale très simple produit une structure globale régulière.