Le théorème de Bézout et de Bachet de Méziriac

Les résultats mathématiques attribués au mathématicien français Etienne Bézout (1730-1783) portent sur des dommaines diverses. Ce mathematicien, académicien et professeur est essentiellement connu pour être l'auteur d'un cours de mathematiques qui eut un grand succès pendant tout le 19e siecle et de trois résultats qui portent son nom :

1. L'identite de Bézout et le théorème de Bézout (arithmétique), que l'on peut déduire d'un de ses mémoires, présenté à l'Academie en 1764, aujourd'hui enseigné en Terminale scientifique (Option Maths), lui ont été attribués vers 1948. 
2. Le théoreme de Bézout (algébrique), l'un des plus importants de la Géometrie algebrique, exposé dans sa Théorie générale des équations de 1779, porte son nom depuis 1795.
3. Le bézoutien dont l'on trouve un cas particulier dans son memoire de 1764 mais qui n'est completement explicite que dans le volume Algebre de son Cours de Mathématiques, a de nombreuses applications aujourd'hui dans la mise au point d'algorithmes.
   Consideré d'abord comme un résultat anonyme, c'est en 1853 que fut reconnue la paternite de Bezout.

Théorème de Bézout ou de Bachet-Bézout

Deux entiers naturels \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, si et seulement si il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(au+bv=1\)

Soit :

$$\text{PGCD}\left(a~;~ b \right) =1 \Longleftrightarrow \exists\left(u ~;~ v \right) \in \mathbb{Z}^2 ~;~ au+bv=1$$

Identité de Bézout (réciproque fausse)

Si \(d\) est le PGCD de deux entiers naturels \(a\) et \(b\), alors il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(au+bv=d\)

Soit :

$$\text{PGCD}\left(a~;~ b \right) =d \Longrightarrow \exists\left(u ~;~ v \right) \in \mathbb{Z}^2 ~;~ au+bv=d$$

Pour réviser

• => Pour vos révisions : sujets et corrigés du Bac 2015.
• => Consultez les annales corrigées.

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