Lemme de Riemann - Lebesgue

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Lemme de Riemann - Lebesgue ou Théorème de Riemann

Lemme ou théorème de Riemann. [AuCA] p 429 et p 427
Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment [a;b]. Alors :

lemme riemann lebesgue

Application classique.

Ce lemme permet de montrer que si f est 2pi-périodique, continue par morceaux sur [0;2pi] 
alors les suites des coefficients de Fourier (an(f)), (bn(f)), (cn(f)), (c-n(f)) convergent vers 0 (quand n →+∞)

Histoire.

Le mathématicien allemand RIEMANN Georg Friedrich Bernhard (1826-1866) présente son mémoire d'habilitation (Habilitationsvortrag) à l'université de Göttingen en 1854.
Ce mémoire, Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique ("Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe"), est publié en 1868 par son ami DEDEKIND (1831-1916).
Dans ce mémoire il montre, entre autre, que les coefficients de Fourier d'une fonction intégrable tendent vers zéro (Lemme de Riemann - Lebesgue) et donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série trigonométrique ∑(an.cos nx + bn.sin nx) converge lorsque les suite (an) et (bn) convergent vers 0.

=> Pour en savoir plus sur les séries de Fourier (Maths Spé.)

Références.

  • [Hauch] : B. Hauchecorne, Les mots et les maths, Ellipse, Paris, 2003.
  • [AuCA] : Guy AULIAC et Jean-Yves CABY, Analyse pour le Capes et l'agrégation interne, Ellipse, Paris, 2002.
  • [MonAn2] : Jean-Marie MONIER, Analyse MP, Dunod, 4e édition,Paris, 2004.