Convergence uniforme : Pour les suites et les séries de fonctions.

Définitions. 

On a ici IK = IR ou C, [AuCA] ^{p 264 et p266}

• Pour les suites de fonctions.
  La suite de fonctions (f_n) converge uniformément sur une partie D de IK vers la fonction f si :

      ∀ ε > 0 ; ∃ N=N(ε) ∈ IN tel que ∀t ∈D ( n > N ⇒ | f_n(t) - f(t) | < ε )

  ou encore si :

      lim sup _{t ∈D} | f_n(t) - f(t) | = 0 ou avec la norme sup : lim || f_n(t) - f(t) ||_∞ = 0

  • Remarque : La place des quantificateurs est essentiel et marque la différence avec la convergence simple. Ici N = N(ε) ne dépend que de ε (et pas de t).
    On peut rapeller que la convergence simple de (f_n) vers la fonction f se traduit par : 
    ∀t ∈D, ∀ ε > 0 ; ∃ N=N(ε,t) ∈ IN tel que  ( n > N ⇒ | f_n(t) - f(t) | < ε )
    
    

• Pour les série de fonctions.
  La définition est la même en prenant f_n(t) = Sn(t), la somme partielle : S_n(t) = u₀(t) + ... + u_n(t),
  R_n(t) = S_n(t) - S(t) représente alors le reste de la série (au signe près).

  On peut aussi utiliser le critère de CAUCHY uniforme :

  La suite (S_n) cv uniformément sur D ssi elle vérifie le critère de Cauchy uniforme soit :

  ∀ ε > 0 ; ∃ N(ε) ∈ IN tel que ∀n > N(ε) ∀p ∈ IN on a || S_n(t) - S(t) || _∞ < ε

Histoire. [Dieudo] ^{p 254}

Le terme convergence uniforme.
En 1838, le mathématicien allemand GUDERMANN Christophe (1798-1852), le professeur de WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897), publie un article dans le Journal de Crelle dans lequel il utilise la notion et le mot de convergence uniforme (im ganzen gleichen Grad).

Ce terme sera plus tard repris par WEIERSTRASS dans ses cours. Dans un article écrit en 1841 et publié en 1894, WEIERSTRASS définit rigoureusement la notion de convergence uniforme d'une série.
Parallèlement, vers 1847, les mathématiciens SEIDEL Philipp Ludwig von (1821-1896) et STOKES Sir George Gabriel (1819-1903) introduisent eux aussi une notion assez proche.
Les spécialistes s'accordent cependant à dire que leurs travaux dans ce domaine n'eurent pas d'influences sur les autres scientifiques.
Dans son mémoire de 1853, le français Cauchy introduisit pour la première fois une notion rigoureuse de convergence uniforme (mais il ne la qualifie pas d'uniforme).
Il utilise pour cela ce que l'on appelle maintenant le critère de Cauchy uniforme.

Intégrabilité.
C'est cependant l'allemand WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897) qui le premier énoncera et démontrera les théorème d'intégrabilité et de continuité de la somme d'une série de fonction. Dans son cours inédit de 1861, il définit la convergence uniforme (Konvergenz in gleichen Grad) à l'aide du critère de Cauchy et démontre que si la série de fonctions continues converge uniformément sur [a;b], alors sa somme est une fonction continue dans [a;b]. Sa démonstration est très proche de celle que l'on propose aujourd'hui. 

Continuité.
Après l'introduction de la convergence uniforme et la mise en évidence du transport de la propriété de continuité, les mathématiciens du 19^ème siècle se sont interrogés sur la réciproque : 

Si la limite d'une suite de fonctions continues est continues, la convergence est-elle uniforme ?

Beaucoup pensent l'avoir démontré mais, en 1880, le célèbre mathématicien Georg CANTOR (1845-1918) met tout le monde d'accord en exhibant un contre-exemple resté célèbre.

Compléments sur la convergence uniforme.

• 1. Lien avec la convergence simple.
  La convergence uniforme implique la convergence simple mais la réciproque est évidement fausse.
  • Contre-exemple : f_n(x)=1/[1 + (x - n)²] [Hauch2]
    De façon évidente, cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle.
    Par contre on a : ∀x∈IR, |f_n(x) - 0| ≤ 1  et f_n(n) = 1 donc || f_n(t) - f(t) ||_∞ = 1.
    Il n'y a donc pas convergence uniforme.
  • Illustration : Voici les courbes représentatives des fonctions f_n pour n de 0 à 10.

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  2. Condition pour que la convergence simple entraine la convergence uniforme.
  Sous certaines conditions, la convergence simple peut aussi entrainer la convergence uniforme, c'est ce que l'on nomme le théorème de DINI.

• • Théorème de DINI, du nom du mathématicien italien DINI Ulisse (1845 - 1918).  [Gour1]^p229 et [Hauch2]

1. 1. 1. Soit (f_n) une suite croissante de fonctions réelles continues et définies sur un segment [a ; b] de IR.
         Si (f_n) converge simplement vers une fonction f continue sur [a;b], alors la convergence est uniforme.
         
         
      2. Soit (f_n) une suite de fonctions croissantes réelles, continues et définies sur un segment [a ; b] de IR.
         Si (f_n) converge simplement vers une fonction f continue sur [a;b], alors la convergence est uniforme.

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  3. Continuité et convergence uniforme.
  La convergence uniforme permet, sous certaines conditions de "transporter" certaines propriétés de la suite à sa limite.
  • Continuité.
    Soit (f_n), convergent uniformement sur D vers une fonction f.
    Si chaque fonction f_n est continue en un point a de D (respectivement sur D), alors sa limite f est aussi continue en a (respectivement sur D).
    
    
  • Exemple de limite non continue pour une suite continue :
    Les fonctions continues f_n en vert définies par  f_n(x) = sinⁿ(x) convergent vers la fonction discontinue f en rouge mais la convergence n'est pas uniforme.

Source : Drini

• • Exemple de limite continue pour une suite de fonctions continues mais sans convergence uniforme : [Hauch2]^p236
    Après l'introduction de la convergence uniforme et la mise en évidence du transport de la propriété de continuité, les mathématiciens du 19^ème siècle se sont interrogés sur la réciproque : 

    Si la limite d'une suite de fonctions continues est continues, la convergence est-elle uniforme ?

    Beaucoup pensent l'avoir démontré mais, en 1880, le célèbre mathématicien Georg CANTOR (1845-1918) met tout le monde d'accord en exhibant un contre-exemple resté célèbre.

    

    
    
    • On montre facilement que la suite (f_n) tend vers la fonction nulle pour tout x de [0;+∞[ qui est continue. 
    • Par contre il n'y a pas de convergence uniforme.
      Pour tout entier n ≥ 1, f_n(1/n) = 1.
      De ce fait pour x de [0;+∞[, la borme supérieure de | f_n(x) - 0| est supérieure ou égale à 1 :  || f_n(x) - 0 ||_∞ ≥ 1.
      La convergence n'est donc pas uniforme.