Lunules d'HYPPOCRATE de Chios

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Les lunules d'HYPPOCRATE de Chios.

Le théorème dit des lunules d'HIPPOCRATE, très ancien, a été démontré par le mathématicien grec HIPPOCRATE de Chios, né à Chios vers 470 av. J.-C. et  mort vers 410 av. J.-C.

HIPPOCRATE de Chios cherche à résoudre la quadrature du cercle qui consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas. Ce problème de quadrature est un des 3 grands problèmes de l'antiquité et il a dérouté les mathématiciens les plus prestigieux pendant près de 2 000 ans !

On sait seulement depuis 1882, grace au mathématicien allemand Ferdinand von LINDEMANN, qu'elle est impossible à réaliser en un nombre fini de constructions à la règle et au compas.

pythagore lunule hippocrate

Pour cela il introduit des lunules, parties comprises entre deux arcs de cercles de rayons différents. Il calcule alors l'aire de certaines d'entre elles et énonce le théorème dit théorème des deux lunules que l'on peut résumer ainsi :

La somme des aires des 2 lunules L1 et L2 est égale à l'aire du triangle ABC.

Pour être plus précis : 

On considère le triangle ABC rectangle en A et C' le demi-disque de diamètre [BC] passant par le point A.

  • La lunule L1 est la figure formée par le demi-disque de diamètre [AC] extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par C'.

  • La lunule L2 est la figure formée par le demi-disque de diamètre [AB] extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par C'.

Démonstration.

Notons Aire(ABC) l'aire du triangle ABC, P1 et P2 l'aire des partie blanches entre les lunules et les segments, et L1, L2 les aires des lunules.

pythagore lunule hippocrate demonstration

  • Tout d'abord remarquons que l'aire du demi-disque de diamètre [BC] soit πBC²/8, est aussi égal à P1 + P2 + A.
    Donc : P1 + P2 + Aire(ABC) = πBC²/8
    Soit la relation (R1)  :  P1 + P2 = πBC²/8 - Aire(ABC) 

  • De plus :
    • Aire du demi-disque de diamètre [AC] soit πAC²/8 est aussi égal à L1 + P1.
      L1 + P1 = πAC²/8

    • Aire du demi-disque de diamètre [AB] soit πAB²/8 est aussi égal à L2 + P2.
      L2 + P2 = πAB²/8

    • Et donc en sommant les deux : L1 + L2 + P1 + P2 = πAC²/8 + πAB²/8

  • Il suffit donc de remplacer P1 + P2 par πBC²/8 - Aire(ABC)  en utilisant la relation (R1) pour obtenir : 

    L1 + L2 + πBC²/8 - Aire(ABC)     = πAC²/8 + πAB²/8

    Soit

    L1 + L2      = πAC²/8 + πAB²/8 - πBC²/8 + Aire(ABC)

    et par factorisation par (π/8)

    L1 + L2      = (π/8) (AC² + AB² - BC² ) + Aire(ABC)

  • Or le triangle ABC est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore on a : BC² = AB² + AC² soit
    AC² + AB² - BC² = 0

On vient donc de démontrer que : L1 + L2  = 0 + Aire(ABC) = Aire(ABC)

La somme des aires des 2 lunules L1 et L2 est égale à l'aire du triangle ABC.

 

Sources.