Le Théorème Fondamentale de l'Arithmétique.
Approche Historique.
Bien qu' Euclide (IIIe av. JC) dans le livre IX des Éléments, propose une ébauche de ce théorème, ce n'est qu'au 19e siècle qu'une démonstration rigoureuse est proposée.
Euclide est assez proche de l'énoncé de ce théorème. Cependant, faute d'une terminologie et de notations adaptées pour les puissances d'un nombre entier et pour les produit, il ne peut poursuivre.
On a tout de même plusieurs témoignages qui semblent attester la connaissance de cette décomposition chez les anciens.
C'est en 1801 que Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) publie au début de ses "Disquisitiones arithmeticae" (Recherches arithmétiques) une démonstration rigoureuse du théorème de décomposition.
Notons que quelques historiens "euclidiomaniacs" vont jusqu'à affirmer qu'Euclide propose une démonstartion de ce théorème dans les "Éléments". [Delah1] p 141
Le théorème fondamentale de l'arithmétique.
- Théorème fondamentale de l'arithmétique.
Tout nombre entier naturel n > 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette représentation est unique, à l'ordre des facteurs premiers près. Soit en d'autres termes :
n = q1 a1 × q2 a2 × q3 a3 × ..... × qr ar ; avec les qi premiers distincts et les ai entiers positifs.
Bibliographie.
[Delah1] : Jean-Paul DELAHAYE, Merveilleux nombres premiers , Belin-Pour la science, Paris, 2000.
