Le Théorème de Pythagore

Le théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carré des deux autres côtés.

C'est à dire

Fichier source Geogebra (en .ggb)

Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
Soit ici : BC² = AC² + AB²

ou sous une autre forme

Si le triangle ABC est rectangle en A,
Alors BC² = BA² + AC²

Application du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore permet de calculer des longueurs et sa réciproque permet prouver qu'un triangle est rectangle. La contraposée permet de montrer qu'un triangle ne l'est pas.
=> Rédaction type niveau collège.
On a par la suite chercher des triplets de nombres vérifiant l'égalité \(a^2= b^2 + c^2\).
Ces triplets se nomment triplets pythagoriciens, le plus celèbre étant (3 ; 4 ; 5).

Histoire du théorème de Pythagore

Le fameux théorème de Pythagore, qu' Euclide (3^ème siècle av. J.-C.) démontre dans ses "Éléments" est, bien sûr, la plus célèbre "découverte" attribuée à la fraternité pythagoricienne.

Ce résultat était en fait déjà connu des chinois et des Babyloniens, 1 000 ans avant Euclide comme en attestent des tablettes cunéiformes babyloniennes et des documents chinois.
Par contre, les babyloniens n'avaient pas conscience que le théorème valait pour tous les triangles rectangles. Cette découverte fondamentale des mathématiciens grecs fut célébrée par le sacrifice de cent boeufs, on appelle cela une hécatombe.

La première démonstration.
Nous devons la première démonstration attestée de la propriété de Pythagore à Euclide (3^ème siècle av. J.-C.).
Il s'agit de la proposition 47 du 1^er livre des Éléments et de la réciproque, proposition 48, qui terminent ce 1^er livre.
Ce théorème compte 370 démonstrations (d'Euclide, des savants chinois, du 20e président des États-Unis, James Abram Garfield en 1876......etc..) faisables en classe de seconde.

Il n'existe aucune preuve que les pythagoriciens en connaissaient une démonstration, et les historiens des sciences pensent généralement que non, bien qu'ils aient conscience de la nécessité d'une démonstration.