Nombre de Bell (ou nombre exponentiel)

Définition. [HaSu]p27
Pour tout entier naturel n on appelle nombre de Bell ou nombre exponentiel, le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments. 
Une partition d'un ensemble E est par définition un ensemble de parties non vides et disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à l'ensemble E.
Ainsi si B_n désigne le nombre de partitions d'un ensemble ayant n éléments on a :

B₀ = 1 ; B₁ = 1 ; B₂ = 2 ; B₃ = 5 ; B₄ = 15 ; B₅ = 52 ; B₆ = 203 ... (Sloane's A000110)

Histoire.

L' écossais Eric Temple Bell (né le 7 février 1883 à Peterhead, Écosse et mort le 21 décembre 1960 à Watsonville, États-Unis) s'installe en 1903 aux États-Unis.
Il y poursuivit ses études commencées en Angleterre et obtient son doctorat en 1912 à l'université de Columbia sur un sujet concernant les polynômes cyclotomiques de degré 5.

La théorie des nombres sera l'objet principal de ses travaux, en particulier Algebraic Arithmetic (1927) où il introduit les nombres qui portent aujourd'hui son nom.

Cependant, le professeur B. C. Berndt (en Jan. 2010) de l'université de l'Illinois (USA), précise que la première véritable étude de ces nombres fut effectuée par le mathématiciens indien Ramanujan (22 décembre 1887 – 26 avril 1920) dans le chapitre 3 de son second livre, environ 25 ans avant Bell.

Propriété.

Le nombres de Bell vérifient la relation : 

Démonstration.

Soit {b₁, b₂, ..., b_n} un ensemble de n éléments à qui l'on adjoint un nouvel élément x : B = {b₁, b₂, ..., b_n} U {x}. Dans chaque partition de B, il existe une unique partie A contenant x. 

• Si Card A = 1, alors A = {x} et pour obtenir une partition de B, on complète par toutes les partitions de {b₁, b₂, ..., b_n}. Il y a donc B_n partitions de ce type.
• Si Card A = n, alors A = B = {b₁, b₂, ..., b_n, x}. Cette partition est unique.
• Si Card A = k, 1≤ k ≤ n - 1. 
  A est de la forme {x, b_j1, b_j2, ..., b_jn} où les j₁, j₂, ..., j_k sont distincts et compris entre 1 et n.
  Il y a autant de parties A de cette forme que de choix de k éléments parmi n, soit C_n^k possibilités. 
  Mais chaque partie ainsi construite doit être complétée pour obtenir une partition de B. Il reste n - k éléments constituant une partie F de B dont il s'agit de dénombrer toutes les partitions que l'on réunira à A. On peut donc associer à chacune des C_n^k possibilités, B_n-k partitions. 
  Il y a donc C_n^k B_n-k partitions contenant A.
• On a donc au total :