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Nombres de Harshad ou de Niven


Définition d'un Nombre de Harshad ou de Niven


Un nombre de Niven (ou nombre Harshad ou nombre multinumérique) est un entier naturel \(n\) non nul qui est divisible, dans une base donnée, par la somme \(S\) de ses chiffres.
Définis dans les années 1970, ces nombres ont depuis été régulièrement étudiés par plusieurs auteurs.

 

Exemples de ces nombres de Harshad ou de Niven

En base 10 on a :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... (sequence A005349 in the OEIS).
Par exemple, l'année 2024 est un nombre de Niven-Harshad (voir les propriété du nombre 2024).

Histoire


Les nombres de Niven, aussi appelés nombres de Harshad, tirent leur nom du mathématicien indien D. R. Kaprekar (1905-1986). Il les a nommés en l'honneur d'un mot sanskrit "Harshad", signifiant "joyeux" ou "charmant" dans un texte de 1955 sous le nom de "multidigital numbers". Les travaux sur ces nombres remontent à différentes sources, notamment aux mathématiciens indiens anciens qui se sont intéressés aux propriétés des nombres.

Cependant, le concept moderne de nombres de Niven a été popularisé et étudié plus largement dans les mathématiques contemporaines. L'appellation « de Niven » est un hommage au mathématicien américain et canadien Ivan Niven (1915-1999) qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977. 

Ivan Morton Niven (1915-1999) à gauche et Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) à droite

 

Quelques propriétés des nombres de Niven ou Harshad


Infinité de Nombres de Niven ou Harshard

Dans toute base, il y a une infinité de nombres de Niven, qui sont, pour \(K\) étant un entier quelconque, de la forme : $$n = K\times S$$

En revanche, pour un \(K\) bien spécifié, qui sera soit un entier donné, soit une fonction donnée des chiffres de ce nombre, on montrera, dans la plupart des cas considérés, qu'il n'y a qu'un nombre fini et surtout petit (de l'ordre de la dizaine) de ces nombres de Niven particuliers qui, par ailleurs, sont petits (au plus 13 chiffres).

Source : Joshua Harrington, Matthew Litman, and Tony W. H. Wong, Every Arithmetic Progression Contains Infinitely Many b-Niven Numbers,
(
https://arxiv.org/pdf/2303.06534v1.pdf), 2023.

 

Nombres de Niven ou Harshard et nombres premiers

De manière générale, dans une base \(b\), tous les nombres de 1 à \(b\) et toutes les puissances de \(b\) sont des nombres de Niven.

Aucun nombre premier strictement supérieur à \(b\) n'est de Niven.

 

Nombres de Niven ou Harshard et Factorielles

En base 10, les factorielles de tous les entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres de Niven,

\(432!\) est la plus petite factorielle à ne pas être un nombre de Niven.

En 2018, il a été montré qu'en base factorielle, il existe des suites d'au plus 4 nombres de Niven (et donc jamais avec 5 ou plus)...
Ce résultat est démontré par Paul Dalenberg and Tom Edgar, Consecutive Factorial Base Niven Numbers, dans Fibonacci Quart. 56, no. 2, 163–166, 2018.

 

Nombre complètement harshad

Un entier qui est un nombre harshad dans toute base est dit complètement harshad (ou complètement de Niven) ; il existe seulement quatre nombres complètement harshad, 1, 2, 4 et 6.

 

Densité des nombres de Harshad

Comme les nombres premiers, les nombres de Niven-Harshad sont certes infinis mais de plus en plus rares.

 

Si l'on note \(N(x)\) le nombre de nombres harshad inférieurs ou égaux à \(x\), alors

 

Cette constante est répertoriée comme suite A086705 de l'OEIS.

Par conséquent,  : les nombres harshad sont de densité asymptotique nulle.

 

Années de Hashard

Les années de Hashard sont les années de Harshad: divisibles par la somme de leurs chiffres.

Par exemple :

2000, 2001, 2004, 2007, 2010, 2016, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2028, 2030, 2034, 2040, 2043, 2052, 2061, 2064, 2070, 2080, 2085, 2088, 2090, 2100 …

 

Prochaines plages de quatre années de Harshad consécutives:

[2022, 2023, 2024, 2025], [3030, 3031, 3032, 3033], [10307, 10308, 10309, 10310], [10307, 10308, 10309, 10310], [12102, 12103, 12104, 12105], [12255, 12256, 12257, 12258], [13110, 13111, 13112, 13113], [60398, 60399, 60400, 60401], [61215, 61216, 61217, 61218], [93040, 93041, 93042, 93043] …

Précédentes: [510, 511, 512, 513], [1014, 1015, 1016, 1017]

 

Sources